Но в любых целых числах
![$a, c$ $a, c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/9/7598bc52208c5db532bf2ff630a0f91482.png)
равенство (7) не разрешимо.
Почему?
Ну, что ж, давайте по порядку. Имеем известное равенство для тринома 3- ей степени
![$$(x+y-z)^3=(x^3+y^3-z^3)+3(z-y)(z-x)(x+y) \eqno (1)$$ $$(x+y-z)^3=(x^3+y^3-z^3)+3(z-y)(z-x)(x+y) \eqno (1)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/0/e70c456be6ecf51a6995403fedc905d482.png)
, где
![$x,y,z$ $x,y,z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/244be3c7db382d3e1400c7c4caa1023a82.png)
-целые числа.
Предположим, что целые числа
![$x_1,y_1,z_1$ $x_1,y_1,z_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/d/6bda90594f46fd12375c08551cdd113682.png)
- взаимно простые,
![$z_1>x_1; z_1>y_1; x_1+y_1>z_1 $ $z_1>x_1; z_1>y_1; x_1+y_1>z_1 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/f/f8f6809f14d11fbcaecb4e121245568782.png)
,
![$z_1 и x_1$ $z_1 и x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/c/a1c4e5b88f9b2f8fa9f2238943a23b3b82.png)
- не четные числа, а
![$y_1$ $y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/0/f7019b486d7fc8f840b0ce0bb0d4171482.png)
- чётное число и для этих чисел выполняется равенство
![$$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$ $$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/a/42a6d796d09bc1b74480933ad69e737882.png)
Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство
![$$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$ $$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/5/9150062c731ed5944aa567c1dab652a782.png)
Поскольку
![$z_1>y_1$ $z_1>y_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/c/d2cb5bbcb2ead346ec9edaebe5be001e82.png)
, то обозначим
![$z_1-y_1=m;z_1-x_1=\Delta $ $z_1-y_1=m;z_1-x_1=\Delta $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fea375e3adf242c926507bcee6e51ef82.png)
, где
![$m,\Delta $ $m,\Delta $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/d/a1d0e6510389cc15a00f271c30b799c582.png)
- положительные целые числа .
Тогда равенство (3) будет
![$$(x_1-m)^3=3m(\Delta)(2x_1+\Delta-m) \eqno (4)$$ $$(x_1-m)^3=3m(\Delta)(2x_1+\Delta-m) \eqno (4)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/3/4836c55fab48f5b3708fe2ca21e4a56682.png)
В частном случае теоремы Ферма для соседних кубов
![$z_1-y_1 =m=1$ $z_1-y_1 =m=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/2/872f57d4dfb58850f8549dca2e7879dc82.png)
и тестовое равенство (4) принимает следующий вид
![$$(x_1-1)^3=3(\Delta)(2x_1+\Delta-1) \eqno (5)$$ $$(x_1-1)^3=3(\Delta)(2x_1+\Delta-1) \eqno (5)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/a/deadf6278af3ffdd0692bb16750cbdfc82.png)
Для этого частного случая замечаем, что согласно равенству (2), которое в этом случае будет
![$$x_{1}^3+(z_{1}-1)^3-z_{1}^3 =0 \eqno (6)$$ $$x_{1}^3+(z_{1}-1)^3-z_{1}^3 =0 \eqno (6)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/f/00f740a0646058b1ae10f4ee9499cac582.png)
число
![$ x_1 $ $ x_1 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/d/6bd71d4c07531ce53dc5d08d0d7e152482.png)
всегда будет не чётным, а в равенстве (5) одна из скобок в правой части будет чётным числом, вне зависимости от чётности
![$z_1$ $z_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/4/9846e95013d0238ac53659ac26ee63f282.png)
.
Поэтому, без потери общности, положим
![$\Delta = z_1 - x_1$ $\Delta = z_1 - x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/7/e87032755969f9ec92644dacb6ea3d3f82.png)
- чётное число ,
![$ x_1 - 1= 6k $ $ x_1 - 1= 6k $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/7/5e71277a2a6fcfe2ef3fa823764f00ed82.png)
, где
![$ k$ $ k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/d/91d6c4416e19c46021e9fb06fa8620d482.png)
- целое число.
Тогда равенство (5) будет
![$$(6k)^3=3(\Delta)(12k+\Delta+1) \eqno (7)$$ $$(6k)^3=3(\Delta)(12k+\Delta+1) \eqno (7)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/9/879144d2bb18f1917d6cb3c09ad4b87e82.png)
Рассмотрим это равенство:
1.Пусть
![$\Delta=2^3$ $\Delta=2^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/7/337ca4f1932fddba6f8d8b2e7cffaa5d82.png)
.
Тогда равенство (7) будет
![$$(3k)^3=12(3k)+3^3 $$ $$(3k)^3=12(3k)+3^3 $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/f/b5f45f9773f5a9484ce4d28cbe10260f82.png)
![$$(3)^3(k)^3=(3)^2(4)k+3^3 $$ $$(3)^3(k)^3=(3)^2(4)k+3^3 $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/0/bb06055b6242b8d47bb3b1b486c6623a82.png)
![$$3(k)^3=4k+3 $$ $$3(k)^3=4k+3 $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/3/15377322f3324ea28acbba46df4ed1d582.png)
![$$k[3(k)^2-4]=3 $$ $$k[3(k)^2-4]=3 $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/3/da345300ed8b432e876a36f89b2c483d82.png)
Поскольку
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
- число простое, то возможны 2-а варианта:
а)
![$k=1$ $k=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/b/7eb22be4bf74527b54b6d6093847814782.png)
.Тогда получаем
![$-1=3$ $-1=3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/8/818f5f3ecd7c33d6865b318d65b6775a82.png)
b)
![$k=3$ $k=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/d/3bdf1f27b6617a3eb7396ee40de413cf82.png)
.Тогда получаем
![$23=1$ $23=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/c/61caf91e6a0cb2caf42cb36c830f7de982.png)
В обоих случаях равенство(7)в целых числах при данном условии не выполняется.
2.Пусть
![$\Delta=(2d)^3$ $\Delta=(2d)^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/6/836eea2fea225e83816d6bad999486b782.png)
,где
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
-любое целое число.
Тогда равенство (7) будет
И вот тут начинаются неопределенности и классическая теория чисел в бессилии разводит руками.
И вдруг, совершенно чудесным образом, нам в голову приходит замечательная идея (хотя, на самом деле, за нашей спиной стоит теория Структурных чисел, которая по непонятным причинам была отправлена на этом форуме в "Пургаторий" и поэтому приходится объясняться метафизическими терминами).
И так - суть идеи.
Имеем равенство (7)
![$$(6k)^3=3(\Delta)(12k+\Delta+1) $$ $$(6k)^3=3(\Delta)(12k+\Delta+1) $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/a/b5aa729462a14b7bad9cdfa3da6e2df582.png)
или
![$$2(6)^2(k)^3=(\Delta)(12k+\Delta+1) $$ $$2(6)^2(k)^3=(\Delta)(12k+\Delta+1) $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/9/569566ca76af0d107b2cc3b36c730fee82.png)
Сделаем такую подстановку: прибавим к обеим частям этого равенства величину
![$2k(\Delta)^2$ $2k(\Delta)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/3/ba3e1f886187fc80549e855c294a898a82.png)
Получим
![$$2(6)^2(k)^3+2k(\Delta)^2=(\Delta)(12k+\Delta+1)+2k(\Delta)^2 $$ $$2(6)^2(k)^3+2k(\Delta)^2=(\Delta)(12k+\Delta+1)+2k(\Delta)^2 $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/2/292d3379807fe84924debd31f2cbb68b82.png)
![$$2k[(6)^2(k)^2+(\Delta)^2]=(\Delta)[12k+2k(\Delta) +(\Delta)+1] $$ $$2k[(6)^2(k)^2+(\Delta)^2]=(\Delta)[12k+2k(\Delta) +(\Delta)+1] $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/a/70afa50938ff5a641d8d4929500b646c82.png)
Рассмотрим два случая:
1.Число
![$\Delta$ $\Delta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/9/7e9fe18dc67705c858c077c5ee292ab482.png)
пропорционально числу
![$2k$ $2k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/7/f1738bbe3646e5962be59daa0aa34d5682.png)
.
Тогда, из за единицы в скобках правой части равенства, в целых числах это равенство не выполняется.
2.Число
![$\Delta$+1 $\Delta$+1](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/6/cc6d10a7e31ab1b041f7651049983f1b82.png)
пропорционально числу
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
Тогда сумма в скобках левой части равенства не может быть пропорциональна
![$\Delta $ $\Delta $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/5/545994479b8eb0934d80a97627e63f8282.png)
и это равенство, опять же, в целых числах не выполняется.
Всё! Теорема Ферма для частного случая соседних кубов доказана - легко и просто.
Надеюсь, теперь Вам всё понятно, уважаемый kotenok gav?
А что, если общий случай действительно сводится к частному случаю- невозможности решения уравнения Ферма в целых числах для соседних кубов
Когда-то и я задавался этим вопросом :
знаю, что достаточно одного контрпримера чтобы опровергнуть ВТФ3, но я не встречал до этого объяснения этому:
если доказать частный случай
![$(b+1)^3-b^3 \neq z^3$ $(b+1)^3-b^3 \neq z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/5/665b5566327e93f35604d0769fa6791082.png)
то автоматом докажем и
![$x^3-y^3$ $x^3-y^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/a/efa2a73f58fdd11996b72f5312c61a4282.png)
?
как понять внутреннюю взаимосвязь, почему доказательство частного случая, где
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
больше
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на единицу, распространяется на все другие значения
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
?
Если этот метод будет работать и в общем случае, тогда становится все понятно: ключ к доказательству частного случая одновременно является и ключом к доказательству общего случая теоремы Ферма. Именно так надо понимать "внутреннюю взаимосвязь, почему доказательство частного случая, где
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
больше
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на единицу, распространяется на все другие значения
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
".
Так ли это или не так в данном случае, можете проверить сами с помощью той подстановки, что сработала при доказательстве частного случая соседних кубов.