Представить число в виде натур.слагаемых с max произведением

[melnikoff]

Представьте число 2021 в виде натуральных слагаемых, произведение которых будет максимальным.

Моё решение:
Понятно, что среди слагаемых не может быть 1, так как 1 не увеличивает произведение.
Также ни одно слагаемое не может быть равно или больше 5: пусть $a \geq 5$, тогда $2(a - 2) > a$.
Если же слагаемое равно 4, то мы можем разбить его на $2 + 2$, а произведение при этом не изменится ($2\cdot2 =4$).
Получается, что среди слагаемых могут быть только 2 или 3.
Далее, среди слагаемых не может быть 3 или более двоек. Допустим есть 3 двойки, но тогда мы можем заменить их на 2 тройки с увеличением произведения: $2^3<3^2$.
$2021 = 673\cdot 3 + 2 $, то есть получаем 673 слагаемых, равных 3, и 1 слагаемое, равное 2. Выделение двух двоек или ликвидация единственной двойки только уменьшат произведение.

Вопрос в следующем. Человек, задавший мне эту задачу, сказал, что эта задача не понимание смысла числа $e$. Мое же решение полностью элементарно и не привлекает сюда число $e$. Может быть есть какое-то элементарное рассуждение, которое дает дополнительное понимание числа $e$?

[zykov]

melnikoff в сообщении #1539282 писал(а):

Может быть есть какое-то элементарное рассуждение, которое дает дополнительное понимание числа $e$?

А Вы представьте в виде не натуральных слагаемых.
$x^{\frac{2021}{x}}$ максимален при $x=e$.

[wrest]

melnikoff в сообщении #1539282 писал(а):

Может быть есть какое-то элементарное рассуждение, которое дает дополнительное понимание числа $e$?

Смотря что понимать под элементарностью. Ваше решение мне нравится.
А что делать, если в условии заменить "натуральных" на "положительных" :)

P.S. А ну предыдущий комент уже интригу практически разрушил.

[melnikoff]

zykov, wrest, спасибо!