Несколько заданий по математическому анализу (основы)

[mkot]

Цитата:

Извините, не дошло
Получилось примерно это:

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 4}} {{{{\cos 2x} \over {\cos ^2 x}}} \over { - \sqrt 2 \sin {{y + {\pi \over 2}} \over 2}\sin {y \over 2}}}$$

Сверху тоже надо сделать замену $x - \frac{\pi}{4} = y$.
Итогда $y \to 0$.

[int13]

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 4}} {{{{\cos \left( {2y + {\pi \over 2}} \right)} \over {\cos ^2 \left( {y + {\pi \over 4}} \right)}}} \over { - 2\sqrt 2 \sin {{y + {\pi \over 2}} \over 2}\sin {y \over 2}}} $$

Формулы приведения...

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 4}} {{{{ - \sin 2y} \over {\cos ^2 \left( {y + {\pi \over 4}} \right)}}} \over { - 2\sqrt 2 \sin {{y + {\pi \over 2}} \over 2}\sin {y \over 2}}} $$

...

mkot писал(а):

Итогда $y \to 0$.

...
Ничего не понял

[GAA]

int13 писал(а):

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 4}} {{{{\cos \left( {2y + {\pi \over 2}} \right)} \over {\cos ^2 \left( {y + {\pi \over 4}} \right)}}} \over { - 2\sqrt 2 \sin {{y + {\pi \over 2}} \over 2}\sin {y \over 2}}} $$

Формулы приведения...

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 4}} {{{{ - \sin 2y} \over {\cos ^2 \left( {y + {\pi \over 4}} \right)}}} \over { - 2\sqrt 2 \sin {{y + {\pi \over 2}} \over 2}\sin {y \over 2}}} $$

В пределе выполняется замена $y = x-\pi/4$ везде!

[mkot]

Цитата:

mkot писал(а):

И тогда $y \to 0$.
Confused
...
Ничего не понял Sad

Мы под знаком предела сделали замену $y = x - \frac{\pi}{4}$, так как $x \to \frac{\pi}{4}$, то
$y \to 0$:
Поэтому, как только мы сделали замену на $y$, то под знаком предела нет никаких $x$:

$$ \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {{{{\cos \left( {2y + {\pi \over 2}} \right)} \over {\cos ^2 \left( {y + {\pi \over 4}} \right)}}} \over { - 2\sqrt 2 \sin {{y + {\pi \over 2}} \over 2}\sin {y \over 2}}} $$

То есть всегда заменяются все вхождения $x$.

[int13]

Эм... То есть нужно представить значение y=0 и посчитать значение выражения:

$$ {{{{ - \sin 2y} \over {\cos ^2 {\pi \over 4}}}} \over { - 2\sqrt 2 \sin {\pi \over 4}\sin 0}} $$

?
При таком раскладе все стремится к нулю. И не понадобились никакие замечательные пределы. Делаю вывод, что я сделал все неправильно.

[GAA]

int13 писал(а):

То есть нужно представить значение y=0 и посчитать значение выражения:

$$ {{{{ - \sin 2y} \over {\cos ^2 {\pi \over 4}}}} \over { - 2\sqrt 2 \sin {\pi \over 4}\sin 0}} $$

?

Если представить — это подставить, то нет! Как указал, mkot, нужно раскрыть неопределенность, применяя первый замечательный предел.

Добавлено спустя 3 минуты 16 секунд:

int13 писал(а):

При таком раскладе все стремится к нулю. И не понадобились никакие замечательные пределы. Делаю вывод, что я сделал все неправильно.

Начинайте решение задачи с указания неопределенности и выяснения за счет чего она возникает!

[int13]

Первый замечательный предел:

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x} = 1 $$

Не пойму как его можно здесь применить..

[GAA]

Что порождает неопределенность [0/0] в случае

mkot писал(а):

$$ \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {{{{\cos \left( {2y + {\pi \over 2}} \right)} \over {\cos ^2 \left( {y + {\pi \over 4}} \right)}}} \over { - 2\sqrt 2 \sin {{y + {\pi \over 2}} \over 2}\sin {y \over 2}}} $$

.

[mkot]

$\lim \frac{\sin 2y}{\ldots} = \lim \frac{\frac{2y}{2y}\sin 2y}{\ldots} =\lim \frac{\frac{\sin2y}{2y} 2y}{\ldots} = \frac{1 \cdot 2y}{\ldots}$

[PAV]

$\sin\frac{y}{2}$ в знаменателе нельзя заменять на $\sin 0$, поскольку на ноль делить нельзя. Вот оттуда и возникает неопределенность типа $\frac00$

[int13]

Аа.. Про неопределенность ясно..
А вот с этим:
$\lim \frac{\sin 2y}{\ldots} = \lim \frac{\frac{2y}{2y}\sin 2y}{\ldots} =\lim \frac{\frac{\sin2y}{2y} 2y}{\ldots} = \frac{1 \cdot 2y}{\ldots}$
пока нет...
Сейчас попробую разобраться..
Оу.. Я и не знал, что так эффектно можно перейти от sin2y к 2y, при y стремящемся к нулю...

[mkot]

Цитата:

Оу.. Я и не знал, что так эффектно можно перейти от sin2y к 2y, при y стремящемся к нулю...

Потом вы будете делать это не задумываясь и говорить, что $\sin x$ эквивалентно $x$
при $x \to 0$, и писать $\sin x \thicksim x$.

[int13]

mkot писал(а):

Цитата:

Оу.. Я и не знал, что так эффектно можно перейти от sin2y к 2y, при y стремящемся к нулю...

Потом вы будете делать это не задумываясь и говорить, что $\sin x$ эквивалентно $x$
при $x \to 0$, и писать $\sin x \thicksim x$.

Верно... Вспомнил, что читал про это в учебнике, просто вылетело из головы...
Вроде бы, это верно не только для синуса, а для тангенса и пр.. Ну да ладно:
Получилось вот что, (если я правильно понял):

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{2y} \over {\cos ^2 \left( {y + {\pi \over 4}} \right)}}} \over {\left( {y\sqrt 2 } \right)\sin \left( {{y \over 2} + {\pi \over 4}} \right)}} $$

[GAA]

Добавлю
Путь существует конечный предел $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$, тогда
$\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x) = A \lim\limits_{x \to a}g(x)$
в том смысле, что если существует предел справа, то существует и предел слева и они равны. На жаргоне: «Все, что не порождает неопределенность, выносим за знак предела». Этим постоянно пользуются при пошаговом упрощении задачи. Особенно это важно при использовании правило Лопиталя, но приучать себя так действовать нужно с самого начала.

[int13]

К сожалению, надо срочно убегать на учебу.
Продолжу попытки решения вечером...