Приведение к Жордановой форме. Жорданов базис

[Stensen]

Всем здравия. Уважаемые, помогите разобраться. Требуется построить Жорданову нормальную форму (ЖНФ) и Жорданов базис (ЖБ) для линейного оператора с матрицей:

$A=$\begin{pmatrix} 4&1&3&2 \\ -1&2&-4&-3 \\ 0&0&4&1 \\ 0&0&-1&2 \\ \end{pmatrix}$$. Здесь $n=4$ размерность пространства.

Собственные значения (СЗ) из $A - \lambda E = 0$ находим: $\lambda = 3, \, m=4$, где $m$ кратность $\lambda$. Для определения структуры ЖНФ можно найти числа:

$r_1 = \operatorname{rank}(A - \lambda E)=2; \, r_2 = \operatorname{rank}(A - \lambdai E)^2=0$ и:

$s_1=n-r_1-( r_1- r_2)=0; \, s_2= r_1- r_2 - (r_2- r_3)=2 $ - кол-во жордановых клеток (ЖК) 1-го и 2-го порядка, соответственно, откуда, очевидно, ЖНФ состоит из 2-х ЖК, 2-го порядка каждая.

Вопрос по нахождению базиса. Решая, $A - \lambda E = 0$, нашел 2 собственных вектора (СВ): $\left\lbrace e_1(1,-1,0,0), \, e_2(1,0,-1,1) \right\rbrace$.

Нужно к каждому собственному пристроить по 1-му присоединенному: $(A - \lambda E)f_1 = e_1, \, (A - \lambda E)f_2 = e_2$.

Для $e_1$ система не совместна, для $e_2$ находим ФСР: $\left\lbrace f_1(3,1,-1,0),\, f_2(5,0,-2,1) \right\rbrace$.

Правильно я понимаю, что:
1. присоединенный для $e_2$ это любой вектор из линейной оболочки $\left\langle f_1,f_2 \right\rangle$ и в качестве базисного я могу взять $ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \, f=\alpha f_1 + \beta f_2$ ?
2. т.к. для $e_1$ система не совместна, то второй присоединенный вектор для построения базиса следует искать для любого $e $ из собственного подпространства: $e=\xi e_1 + \eta e_2 \,$, подбирая $ \xi, \eta $ для совместности системы $(A-\lambda E)f=e$?
3. (самый важный) если при нахождении присоединенных векторов, окажется, что система не совместна ни для $e_1$, ни для $e_2$, то первый присоединенный буду искать для СВ $e=\xi e_1 + \eta e_2 \,$. А как искать второй присоединенный ? И какой СВ в этом случае будет собственным для искомого присоединенного ?

-- 12.11.2021, 13:08 --

Попутный вопрос. Помогите придумать пример или постановку задачи, где потребуется вычислять значение матричного многочлена или оператора:
$aA^n+bA^{n-1} +...+cA = B $ ?

[svv]

Stensen в сообщении #1538784 писал(а):

Для $e_1$ система не совместна

Проверьте, у меня совместна. Пусть $f_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}$, тогда
$(A-\lambda E)f_1 =\begin{bmatrix}1&1&3&2\\-1&-1&-4&-3\\0&0&1&1\\0&0&-1&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\\0\end{bmatrix}=e_1$
Существование решения тут следует из структуры жордановой формы, которую Вы получили.

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1538784 писал(а):

для $e_2$ находим ФСР: $\left\lbrace f_1(3,1,-1,0),\, f_2(5,0,-2,1) \right\rbrace$.

Что-то я засомневался в вашем $f_2$ для $e_2$ . Проверьте пожалуйста.
И может вам одного присоединённого вектора хватит для $e_2$?
Вроде нормальный комплект получается. Две жордановых клетки размером два на два. На каждую клетку один собственный вектор и один присоединённый.

Stensen в сообщении #1538784 писал(а):

Попутный вопрос. Помогите придумать пример или постановку задачи, где потребуется вычислять значение матричного многочлена или оператора:
$aA^n+bA^{n-1} +...+cA = B $ ?

Можно поставить задачу вычисления матричной экспоненты, которую можно употребить для решения системы линейных дифференциальных уравнений. Если вы этого не проходили, то можно рассмотреть какую-нибудь рекуррентную последовательность. Хотя-бы кроликов Фибоначчи.

[Stensen]

Спасибо