Водные приключения пеликана

[Munuvonaza]

Есть такая игрушка Водные приключения пеликана, суть заключается в раскладывании шариков по стаканам при помощи водного насоса
В игре имеется 4 стакана, а также 8 шариков - по 2 красного, желтого, зеленого и синего цвета; в каждый стакан влезает от 0 до 3 шариков включительно
Допустима ситуация, что в каких-то стаканах по 3 шарика, а в каких-то - 0 шариков
Вопрос: сколько имеется различимых комбинаций шариков, когда все они разложены по стаканам?
Выглядит вот так:



Видится что задачу можно решить следующим образом:
1) Рассчитывается количество комбинаций, которыми можно расставить шарики в ряд - это число перестановок с повторениями, то есть $8!/(2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!) = 2520$

2) Вместо того, чтобы раскладывать шарики по стаканам, можно расставлять границы стаканов на разложенных шариках; поскольку шариков 8 штук, это разбиения числа 8, и для простоты можно посчитать только лексографически отсортированные варианты:
$3, 3, 2, 0$
$3, 3, 1, 1$
$3, 2, 2, 1$
$2, 2, 2, 2$

3) Каждое из разбиений отсортировано в лексографическом порядке, а общее количество можно посчитать тоже по перестановкам с повторениями:
$N(3, 3, 2, 0) = 4!/(2!) = 12$
$N(3, 3, 1, 1) = 4!/(2! \cdot 2! ) = 12$
$N(3, 2, 2, 1) = 4!/(2!) = 12$
$N(2, 2, 2, 2) = 4!/(4!) = 1$

4) Итого получается $12 + 6 + 12 + 1 = 31$ возможных разбиений на списке длиной 8 с возможными $2520$ перестановками, то есть разбиение можно применить для каждой из перестановок, что дает $31 \cdot 2520 = 78120$ комбинаций

Верный ли подход к решению задачи?

[TOTAL]

Munuvonaza в сообщении #1538451 писал(а):

Вопрос: сколько имеется различимых комбинаций шариков, когда все они разложены по стаканам?

Какие комбинации считаются различными?

[Munuvonaza]

TOTAL в сообщении #1538457 писал(а):

Какие комбинации считаются различными?

Визуально различимые - шарики одного цвета считаются неразличимыми

К примеру, два красных шарика в левом верхнем стакане останутся одной комбинацией, если их переставить. А красный и синий шарик в левом верхнем стакане - это две комбинации, в зависимости от того, какой сверху и снизу. Если переложить их в другой стакан - то это тоже другая комбинация.

То есть неформально говоря, если делать фотографии игры в пеликана, когда все шарики разложенные, то сколько различных фотографий можно сделать

[svv]

Да, всё правильно.

Добавим ещё $4$ белых неразличимых шарика, они соответствуют пустым местам в стаканах. Есть $31$ способ разложить их по стаканам («прижимая» их кверху).
Сделаем все цветные шарики различимыми, комбинаций будет в $16$ раз больше. Разложим их по местам, не занятым белыми шариками, это $8!$ способов.
$31\cdot 8!/16=78120$

[TOTAL]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1538472 писал(а):

Разложим их по местам, не занятым белыми шариками

Если белые шарики прижаты кверху, то они загородят путь остальным шарикам. Поэтому лучше белые шарики опустить на дно, не тратя силы на удержание вверху белых и не загораживая дорогу остальным нормальным цветным шарикам.

[svv]

(Оффтоп)

У меня $4$ помощника. Каждый одной рукой поддерживает белые шарики снизу, второй сверху, чтобы из стакана не выпали. Теперь надо поместить в первый стакан цветной шарик. Я командую: «Вася, дорогу! Петя, приготовься.» (А Петя поддерживает белые шарики во втором стакане.) Вася на пять секунд вынимает шарики из стакана, я туда кладу цветной... и никаких проблем! В общем, всю черновую работу делают ребята.