Аналитическая геометрия, задача, составить уравнение прямой

[Alexander__]

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача:

-----

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $O(0,0,0)$ и пересекающей прямые $P_1:\left\{ \begin{array}{rcl} x-y+z-2=0 \\ x-2y+3z-8=0 \\ \end{array} \right.$ и $P_2: \left\{ \begin{array}{rcl} y-z+1=0 \\ x+y-2z+4=0 \\ \end{array} \right. $

-----

Найдём векторно-параметрические уравнения прямых.

Направляющий вектор $\vec{a}(P_1)$ коллинеарен векторному произведению векторов нормалей плоскостей:

$$\vec{a}(P_1) = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{array} \right| = \left( -1, -2, -1 \right)$$

Точку на прямой найдём из уравнений. Положим $z=\lambda$, тогда система уравнений для прямой примет вид:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x-y=2-\lambda \\ x-2y=8-3\lambda \\ \end{array} \right. $$

Из первого вычтем второе и получим ответ:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x=\lambda-4 \\ y=-6+2\lambda \\ z=\lambda \\ \end{array} \right. $$

Система определяет множество всех точек на прямой. Зафиксируем $\lambda=1$, тогда $\vec{r_0}(P_1) = (-3, -4, 1) $.

Тогда $\vec{r}(P_1) = (-3, -4, 1) + (-1,-2,-1) t$.

Аналогично для $P_2$:

$$\vec{a}(P_2) = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array} \right| = \left( -1, -1, -1 \right)$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} y-z+1=0 \\ x+y-2z+4=0 \\ \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{rcl} z = \lambda \\ y-\lambda + 1 = 0 \\ x+y-2 \lambda +4=0 \\ \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{rcl} z = \lambda \\ y=\lambda - 1 \\ x=\lambda -3 \\ \end{array} \right. $$

$$\lambda=0 \implies \vec{r_0}(P_2)=(-3,-1,0)$$

$$\vec{r}(P_2)=(-3,-1,0) + (-1,-1,-1) t$$

-----

Так как смешанное произведение

$$\left( \vec{a}(P_1), \vec{a}(P_2), \vec{r_0}(P_1) - \vec{r_0}(P_2) \right) = \left| \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -3-(-3) & -4-(-1) & 1-0 \end{array} \right| = -1 \neq 0$$

то прямые скрещиваются.

-----

1. Построим плоскость $L$, проходящую через точку $O(0,0,0)$ и содержащую прямую $P_1$. Т.к. плоскость $L: A x + B y + C z + D = 0$ пересекает $O(0,0,0)$, то $D=0$. Вектор нормали $L$ будет коллинеарен $[\vec{a}(P_1), \vec{r_0}(P_1)]=\left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -4 & 1 \\ -1 & -2 & -1 \end{array} \right| = (6, -4, 2), откуда $L: 3 x - 2 y + z = 0$.

2. Найдём точку перечения $M$ прямой с плоскостью $L$ (post1537659.html#p1537659):

$$\vec{OM}=(-3,-1,0) + (-1,-1,-1) \cdot \frac{0 - \left( (-3,-1,0), (3,-2,1) \right) }{\left((-1,-1,-1), (3,-2,1)\right)} = (-3,-1,0) + (-1,-1,-1) \cdot \frac{7}{-2} = \frac1{2} (1,5,7) $$

3. Построим прямую $P_3$ через точки $O$ и $M$, что и будет ответом: $\vec{r}(P_3) = (1,5,7) t $

[lel0lel]

Alexander__ в сообщении #1538170 писал(а):

Так как смешанное произведение

$$\left( \vec{a}(P_1), \vec{a}(P_2), \vec{r_0}(P_1) - \vec{r_0}(P_2) \right) = \left| \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -3-(-3) & -4-(-1) & 1-0 \end{array} \right| = -1 \neq 0$$

то прямые скрещиваются.

По аналогии с этим, только с помощью двух определителей равных нулю можно было бы получить направляющий вектор прямой $\vec{r}(P_3)$

[svv]

Пусть прямые $P_1$ и $P_3$ пересекаются в точке $(x,y,z)$, а $P_2$ и $P_3$ — в точке $(x',y',z')$. Тогда
$\begin{cases}x-y+z-2=0\\x-2y+3z-8=0\end{cases}\quad \begin{cases}y'-z'+1=0\\x'+y'-2z'+4=0\end{cases}$
Так как $P_3$ проходит через $O$, векторы $(x,y,z)$ и $(x',y',z')$ пропорциональны. Ни одна из этих точек пересечения не совпадает с $O$, поэтому $(x,y,z)=(kx',ky',kz')$, где $k\neq 0$.

Во второй системе оба уравнения умножим на $k$, заменим $kx',ky',kz'$ на $x,y,z$ и присоединим полученные уравнения к первой системе:
$\begin{cases}x-y+z-2=0\\x-2y+3z-8=0\\y-z+k=0\\x+y-2z+4k=0\end{cases}$
Находим $(x,y,z)=(\frac 2 3,\frac {10}3,\frac {14} 3)=\frac 2 3(1,5,7)$. Общий множитель $\frac 2 3$ можно отбросить, а $(1,5,7)$ взять в качестве направляющего вектора $P_3$.

[Alexander__]

lel0lel в сообщении #1538173 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1538170 писал(а):

Так как смешанное произведение

$$\left( \vec{a}(P_1), \vec{a}(P_2), \vec{r_0}(P_1) - \vec{r_0}(P_2) \right) = \left| \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -3-(-3) & -4-(-1) & 1-0 \end{array} \right| = -1 \neq 0$$

то прямые скрещиваются.

По аналогии с этим, только с помощью двух определителей равных нулю можно было бы получить направляющий вектор прямой $\vec{r}(P_3)$

Не понял. Пожалуйста, объясните как это сделать.

-- 08.11.2021, 13:29 --

svv в сообщении #1538174 писал(а):

Пусть прямые $P_1$ и $P_3$ пересекаются в точке $(x,y,z)$, а $P_2$ и $P_3$ — в точке $(x',y',z')$. Тогда
$\begin{cases}x-y+z-2=0\\x-2y+3z-8=0\end{cases}\quad \begin{cases}y'-z'+1=0\\x'+y'-2z'+4=0\end{cases}$
Так как $P_3$ проходит через $O$, векторы $(x,y,z)$ и $(x',y',z')$ пропорциональны. Ни одна из этих точек пересечения не совпадает с $O$, поэтому $(x,y,z)=(kx',ky',kz')$, где $k\neq 0$.

Во второй системе оба уравнения умножим на $k$, заменим $kx',ky',kz'$ на $x,y,z$ и присоединим полученные уравнения к первой системе:
$\begin{cases}x-y+z-2=0\\x-2y+3z-8=0\\y-z+k=0\\x+y-2z+4k=0\end{cases}$
Находим $(x,y,z)=(\frac 2 3,\frac {10}3,\frac {14} 3)=\frac 2 3(1,5,7)$. Общий множитель $\frac 2 3$ можно отбросить, а $(1,5,7)$ взять в качестве направляющего вектора $P_3$.

Отличное решение. Не в сравнение лаконичнее моего.

[svv]

Alexander__, спасибо. К сожалению, тут действует такая закономерность. Допустим, стандартное решение задачи рассчитано где-то на полчаса. Иногда можно найти и решение «за 5 минут», но на его поиск уходит три часа. Все цифры условные, конечно.

[lel0lel]

Alexander_ в сообщении #1538174 писал(а):

Пожалуйста, объясните как это сделать.

Используя ваше обозначение смешанного произведения:
$\left( \vec{a}(P_3), \vec{a}(P_1), \vec{r_0}(P_1) - \vec{r_0}(P_3) \right) = 0$,. $\left( \vec{a}(P_3), \vec{a}(P_2), \vec{r_0}(P_2) - \vec{r_0}(P_3) \right) = 0$. Отсюда найдём компоненты $ \vec{a}(P_3)$. Или так: находим $\vec{n}_1=\vec{a}(P_1)\times(\vec{r_0}(P_1) - \vec{r_0}(P_3))$, $\vec{n}_2=\vec{a}(P_2)\times(\vec{r_0}(P_2) - \vec{r_0}(P_3))$, тогда $\vec{a}(P_3)=\vec{n}_1\times \vec{n}_2$. При желании можно расписывать двойное векторное произведение по формуле бац-цаб, тогда все вычисления сведутся к двум векторным произведениям.

[TOTAL]

$P_1:\left\{ \begin{array}{rcl} x-y+z-2=0 \\ x-2y+3z-8=0 \\ \end{array} \right.$ и $P_2: \left\{ \begin{array}{rcl} y-z+1=0 \\ x+y-2z+4=0 \\ \end{array} \right. $

Искомые направляющие $x, y, z$ удовлетворяют уравнениям

$$\frac{x-2y+3z}{x-y+z}=4, \;\; \frac{x+y-2z}{y-z}=4$$

[svv]

TOTAL, красиво.

[StepV]

svv в сообщении #1538226 писал(а):

стандартное решение задачи рассчитано где-то на полчаса. Иногда можно найти и решение «за 5 минут», но на его поиск уходит три часа.

Спасибо. Разобрался с вашим алгоритмом в общем случае, когда т.O не в начале координат. Жаль, что такие примеры не входят в учебники по аналитической геометрии.

[Alexander__]

lel0lel в сообщении #1538249 писал(а):

Alexander_ в сообщении #1538174 писал(а):

Пожалуйста, объясните как это сделать.

Используя ваше обозначение смешанного произведения:
$\left( \vec{a}(P_3), \vec{a}(P_1), \vec{r_0}(P_1) - \vec{r_0}(P_3) \right) = 0$,. $\left( \vec{a}(P_3), \vec{a}(P_2), \vec{r_0}(P_2) - \vec{r_0}(P_3) \right) = 0$. Отсюда найдём компоненты $ \vec{a}(P_3)$. Или так: находим $\vec{n}_1=\vec{a}(P_1)\times(\vec{r_0}(P_1) - \vec{r_0}(P_3))$, $\vec{n}_2=\vec{a}(P_2)\times(\vec{r_0}(P_2) - \vec{r_0}(P_3))$, тогда $\vec{a}(P_3)=\vec{n}_1\times \vec{n}_2$. При желании можно расписывать двойное векторное произведение по формуле бац-цаб, тогда все вычисления сведутся к двум векторным произведениям.

Хорошие способы.

В первом случае не хватает 1ого уравнения. $\vec{a}(P_3)$ имеет три координаты. А уравнений всего два. Какого ещё уравнения не хватает -- не могу придумать. Подскажите?

Во втором случае всё хорошо. Если посчитать в координатах:

$$\left[ \left[ (-1,-2,-1), (-3,-4,1) \right] , \left[ (-1,-1,-1), (-3,-1,0) \right] \right] = \left[ (-6,4,-2), (-1,3,-2) \right] = (-2,-10,-14) $$

Который коллинеарен вектору $\vec{a}(P_3) = (1,5,7)$.

-- 10.11.2021, 22:23 --

Ещё одно решение, предложенное alex1910 member23972.html.

1. Найдём две точки на прямой P1 как два различных решения линейной системы.

$$\lambda = 0 \implies M_1(-4,-6,0)$$

$$\lambda = 1 \implies M_2(-2,-4,1)$$

2. Построим плоскость $L: Ax+By+Cz+D=0$ по трем точкам ($O(0;0;0)$ и двум найденным):

$$ O(0,0,0) \in L \implies D = 0 $$

$$ \vec{n}(L) = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & -6 & 0 \\ -3 & -4 & 1 \end{array} \right| = \left( -6, 4, -2 \right) \implies L: 3x - 2y + z = 0$$

3. Пересечение прямой P2 и плоскости L -- это решение линейной системы из трех уравнений: двух плоскостей, задающих P2, и L:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} y-z+1=0 \\ x+y-2z+4=0 \\ 3x-2y+z=0 \\ \end{array} \right. $$

Решив которую, найдём, что

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{5}{2} \\ z=\frac{7}{2} \\ \end{array} \right.$$

Откуда уравнение искомой прямой: $\vec{r}(P_3)=a(1,5,7)t$.

-- 10.11.2021, 22:24 --

svv в сообщении #1538271 писал(а):

TOTAL, красиво.

Я не понял красоты. Пожалуйста, объясните как из этих дробей следует решение?

[lel0lel]

Alexander__ в сообщении #1538559 писал(а):

Какого ещё уравнения не хватает -- не могу придумать. Подскажите?

Ещё уравнение не требуется, так как направляющий вектор определяется с точностью до постоянного множителя. Одну из компонент выбираем сами.

[svv]

Alexander__ в сообщении #1538559 писал(а):

Пожалуйста, объясните как из этих дробей следует решение?

В каждом из уравнений с дробью домножим обе части на знаменатель (получим линейное уравнение), а потом приведём подобные. Получим систему из двух однородных уравнений:
$\begin{cases}3x-2y+z=0\\x-3y+2z=0\end{cases}$
Решение определено с точностью до множителя (как и направляющий вектор прямой). Произвольно зададим $x\neq 0$, например, $x=1$, получим $y=5, z=7$.

[bot]

Используя пучок алоскостей, назодим плоскость, проходящую через первую прямую и точку $O$: $3x-2y+z=0 $
Аналогично получаем вторую плоскость$x-3y+2z=0$

[Alexander__]

svv в сообщении #1538597 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1538559 писал(а):

Пожалуйста, объясните как из этих дробей следует решение?

В каждом из уравнений с дробью домножим обе части на знаменатель (получим линейное уравнение), а потом приведём подобные. Получим систему из двух однородных уравнений:
$\begin{cases}3x-2y+z=0\\x-3y+2z=0\end{cases}$
Решение определено с точностью до множителя (как и направляющий вектор прямой). Произвольно зададим $x\neq 0$, например, $x=1$, получим $y=5, z=7$.

bot в сообщении #1538746 писал(а):

Используя пучок алоскостей, назодим плоскость, проходящую через первую прямую и точку $O$: $3x-2y+z=0 $
Аналогично получаем вторую плоскость$x-3y+2z=0$

Благодарю. Теперь геометрический смысл предыдущего решения стал понятен.

-- 12.11.2021, 19:47 --

bot в сообщении #1538746 писал(а):

Используя пучок алоскостей, назодим плоскость, проходящую через первую прямую и точку $O$: $3x-2y+z=0 $
Аналогично получаем вторую плоскость$x-3y+2z=0$

А как получить пучок плоскостей, проходящий через произвольную точку и прямую, заданную системой из 2х уравнений для плоскостей?

[Alexander__]

lel0lel в сообщении #1538563 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1538559 писал(а):

Какого ещё уравнения не хватает -- не могу придумать. Подскажите?

Ещё уравнение не требуется, так как направляющий вектор определяется с точностью до постоянного множителя. Одну из компонент выбираем сами.

Да, всё сработало. Арифметика:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \left( (x,y,z), (-1,-2,-1), (-3,-4,1) \right) = 0 \\ \left( (x,y,z), (-1,-1,-1), (-3,-1,0) \right) = 0 \\ \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{rcl} x = \lambda \\ y = 5\lambda \\ z = 7\lambda \\ \end{array} \right. \implies \vec{r}(P_3)=(1,5,7)t$$