Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

[upjump]

Доброго времени суток!
Читаю "Курс теории вероятности" Гнеденко. Глава 2, §11, Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.
Ссылка на книгу: https://nmetau.edu.ua/file/gnedenko1988.pdf

В доказательстве описано следующее:

Цитата:

В этом интервале действует локальная теорема Муавра, и мы можем поэтому заключить, что при всех достаточно больших значениях $n$

$ \max \Pi_n(x) < 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \max \exp(-\frac{x^2}{2}) = \sqrt{\frac{2}{n}} $

где $ \Pi_n(x) = \begin{cases} 0 &\text{для $x<x_0=- \frac{np}{\sqrt{npq}}$;}\\ 0 &\text{для $x \geqslant x_n + \frac{1}{\sqrt{npq}} = \frac{1+nq}{\sqrt{npq}}$;}\\ \sqrt{npq}P_n(m) &\text{для $x_m \leqslant x < x_{m+1} (m = 0,1, \dots ,n)$.} \end{cases} $

$P_n(m) = \binom{n}{m}p^mq^{n-m} $
$p$ - вероятность наступления события в схеме испытаний Бернули
$q = 1-p$

Не могу понять откуда взялась $2$ в начале правой части оценочного неравенства:
$ \max \Pi_n(x) < 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \max \exp(-\frac{x^2}{2}) = \sqrt{\frac{2}{n}} $

Помогите разобраться, пожалуйста.

[Otta]

upjump
Двойка непринципиальна. Может стоять любое число, большее единицы.
Устойчивость строгого неравенства.
То есть, если избавиться от конкретики, что есть:
Отношение $f(n)/g(n)\to 1, \ n\to\infty$.
Отсюда не следует, что $f(n)< g(n)$
Зато, поскольку $1< 2$ (или 3, что нравится), при достаточно больших $n \ f(n)/g(n)<2$. Откуда следует Ваша строчка.

Посмотрите еще доказательство ИТМЛ в Севастьянове. Может, больше понравится.

И еще. Вы дважды ошиблись, перепечатывая из учебника. Там не от чего получаться $\sqrt{2/n}$ в хвосте.

[upjump]

Цитата:

Двойка непринципиальна. Может стоять любое число, большее единицы.

Спасибо! Точно такие же мысли были и у меня.

Цитата:

И еще. Вы дважды ошиблись, перепечатывая из учебника. Там не от чего получаться $\sqrt{2/n}$ в хвосте.

Да, вы правы, я ошибся. Там должно быть $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$.