Уравнение состояния из энергии Гельмгольца

[apt]

В 1996 году Roland Span and Wolfgang Wagner выкатили статью с новым уравнением состоянием для углекислого газа. (стр. 33)
В ней само уравнение состояния представлено в виде

$$\frac{A(\delta,\tau)}{RT}=\varphi^0+\varphi^r$$

где A, - как я понимаю, энергия Гельмгольца.
Во-первых, там написано, что это "specific Helmholtz energy"...что могло бы значить слово "specific"? Английским владею плохо
$\varphi^0, \varphi^r$ - довольно длинные выражения, но вроде бы всё подставляю правильно
Во-вторых, мне нужно уравнение состояния в виде $p=p(\tilde{v},\tilde{\tau})$, где параметры с тильдами - приведённые к критическим параметры.
Делаю так:

$$p(\delta,\tau)=-\frac{\partial (\varphi^0 + \varphi^r)}{\partial \delta}$$

Потом, там $\delta=\rho/\rho_c, \tau=T_c/T$ поэтому подставляю приведённые переменные так $p(\delta,\tau)=p(1/\tilde{v},1/\tilde{\tau})$
Но в итоге получается что-то не то.
Подскажите, пожалуйста, что я неправильно делаю.

[Pphantom]

apt в сообщении #1537987 писал(а):

Во-первых, там написано, что это "specific Helmholtz energy"...что могло бы значить слово "specific"?

В подобном контексте - "удельная", на единицу массы.

apt в сообщении #1537987 писал(а):

Делаю так:

Почему?

[apt]

Pphantom в сообщении #1537989 писал(а):

Почему?

Ну как
Мы же знаем, что

$$p=-\left(\frac{\partial A}{\partial V}\right)_T$$

А в данном уравнении $\delta$ вроде как и есть объём домноженный на постоянные, разве нет?
Чтобы получить давление от объёма и температуры

[Pphantom]

apt в сообщении #1537991 писал(а):

А в данном уравнении $\delta$ вроде как и есть объём домноженный на постоянные, разве нет?

Вы же вводили ее как плотность, домноженную на постоянные. Коэффициент-то вынесется, это да, но производная по обратной к переменной - это не совсем то же самое, что производная по переменной.

[apt]

Pphantom в сообщении #1538000 писал(а):

но производная по обратной к переменной - это не совсем то же самое, что производная по переменной.

А, т.е.

$$\frac{\partial f(v)}{\partial \frac{1}{v}}=\frac{\partial f(v)}{\partial v} \cdot \frac{\partial \frac{1}{v}}{\partial v}=\frac{\partial f(v)}{\partial v} \cdot \frac{-1}{v^2}$$

Попробую

[apt]

Pphantom в сообщении #1538000 писал(а):

но производная по обратной к переменной - это не совсем то же самое, что производная по переменной.

Тогда сделал так

$$\varphi^o(\delta,\tau)+\varphi^r(\delta,\tau)=\varphi^o(\frac{M}{\tilde{v}},\frac{1}{\tilde{\tau}})+\varphi^r(\frac{M}{\tilde{v}},\frac{1}{\tilde{\tau}})$$

М-молярная масса
И потом уже полученное выражение дифференцируем по объёму.
В принципе, получаются изотермы, и даже в точке $p(1,1) \approx 1$, но при малых температурах вид кривых не меняется, т.е. не получается ни точки перегиба, ни области двухфазного состояния, а давление возрастает на порядки, например при $\tau=0.01 \approx 30^oC$ давление имеет величину $10^{20}$

[Pphantom]

Ну что там еще можно найти... $\tau$ вы сознательно сделали обратной безразмерной температурой? Множитель $R T$ не потеряли? От него как-то следов не видно.

И вообще как-то все это неаккуратно выглядит.

[apt]

Pphantom в сообщении #1538016 писал(а):

$\tau$ вы сознательно сделали обратной безразмерной температурой?

В статье $\tau=\frac{T_c}{T}$, соответственно $\tau=\frac{1}{\tilde{\tau}}$

Pphantom в сообщении #1538016 писал(а):

Множитель $R T$ не потеряли?

А вот он там куда? Просто вид изотерм он никак не меняет.

Pphantom в сообщении #1538016 писал(а):

И вообще как-то все это неаккуратно выглядит.

А как будет аккуратно?

[Pphantom]

apt в сообщении #1538021 писал(а):

А как будет аккуратно?

Ввести какую-нибудь единообразную систему обозначений (внятно описав, что как обозначено), затем внятно описать сначала постановку задачи, затем - что и почему делалось.

Со стороны сейчас это выглядит как какие-то обрывки мыслей. Как показывает опыт, шансы на то, что человек, подобным образом записавший выкладки, на самом деле не сделал в них ни одной ошибки, близки к нулю.

[apt]

Pphantom в сообщении #1538031 писал(а):

Ввести какую-нибудь единообразную систему обозначений (внятно описав, что как обозначено), затем внятно описать сначала постановку задачи, затем - что и почему делалось.

Попробую:
$T$-температура в градусах Кельвина, $V$-объём в $\frac{m^3}{mol}$, $P$-давление в Паскалях, $\rho$-плотность в $\frac{kg}{m^3}$
$T_c=304.1$-критическая температура,
$V_c$-критический объём,
$P_c=7.4\cdot 10^{6}$-критическое давление,
$\rho_c=467$-критическая плотность в $\frac{kg}{m^3}$
$M=44\cdot 10^{-3}$-молярная масса $CO_2$ в $\frac{kg}{mol}$
$R_m=8.314$-газовая постоянная в $\frac{J}{mol\cdot K}$
$R=\frac{R_m}{M}$-удельная газовая постоянная, получается в $\frac{J}{kg\cdot K}$
В статье приводится уравнение в виде:

$$\frac{A(\rho,T)}{RT}=\varphi(\delta,\tau)=\varphi^o(\delta,\tau)+\varphi^r(\delta,\tau)$$

Где $A$-удельная энергия Гельмгольца,$\varphi$-безразмерная энергия Гельмгольца, $\delta=\rho/\rho_c$, $\tau=T_c/T$

Мне нужно:
Уравнение состояния в виде $P=P(v,\theta)$, где $v=V/V_c$ приведённый к критическому объём, $\theta=T/T_c$-приведённая к критической температура

Мои попытки:
Во-первых, я не понимаю, почему у них $A(\rho,T)$ есть функция от $\rho$, а не от $\delta$
Определимся с переменными:

$$\rho=\frac{M}{V}\Rightarrow \delta=\frac{\rho}{\rho_c}=\frac{V_c}{V}=\frac{1}{v}$$

$$\tau=\frac{T_c}{T}=\frac{1}{\theta}$$

В моих переменных:

$$A(\rho,T)=RT\cdot\varphi(\delta,\tau)=R \cdot\theta\cdot T_c \cdot \varphi\left(\frac{1}{v},\frac{1}{\theta}\right)$$

Затем полученное выражение дифференцируем по объёму для получения давления:

$$P=-\left(\frac{\partial A(\rho,T)}{\partial v}\right)_T=-\left(\frac{\partial \left(R\cdot\theta\cdot T_c\cdot\varphi(\frac{1}{v},\frac{1}{\theta})\right)}{\partial v}\right)_{\theta}=-R\cdot\theta\cdot T_c \left(\frac{\partial \varphi(\frac{1}{v},\frac{1}{\theta})}{\partial v}\right)_{\theta}$$

[apt]

После вычисления давления по последней вышеприведённой формуле получились изотермы, только вот численно давление что-то не сходится