Применение эквивалентов функции, о малые

[Stealins]

Возникли сложности в понимании эквивалентов и о малых. Первое, о чем хочется спросить, почему применение эквивалентов в сумме или разности функций не допустимо, и приводит к неправильному результату? Я понимаю эквиваленты, как разложение функции в ряд Тейлора с наименьшей точностью, то есть $\sin x \sim x + o(x)$ означает, что я разложил синус до первой степени, а все остальное перенес в о малое. Если я хочу повысить точность, можно написать $\sin x \sim x - \frac {x^3} {3!} + o{}(x^3)$. Так, в $\lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3}$ я могу применить эквиваленты, однако должен расписать их до точности $o{}(x^3)$, и тогда получится правильный ответ 0,5. Но если я не захочу расписыватаь до такой точности, я должен преобразовать данный предел в $\lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x (1 - \cos x)} {x^3}$ и теперь уже могу применять эквиваленты, расписанные лишь до первой степени. Если применить сразу, то выйдет, что предел равен нулю. В задачнике Виноградовой это обьясняется так "эти соотношения не позволяют сравнить $\tg x - \sin x$ и $x^3$. Для такого сравнения требуется более глубокий анализ" Конкретно по этому пределу два вопроса
1) Почему в первом случае меня должна волновать точность эквивалента, а во втором нет? Почему использование эквивалентов 1 степени при сложении приводит к неверному результату, а 3 степени к правильному? Почему эквиваленты 1 степени можно применять только при умножении?
2) Зачем конкретно мы переходим к произведению функций? Такое чувство, что составители примера заранее знали, что при использовании эквивалентов 1 степени в сумме получится неверный результат, а при умножении верный. Так как все таки правильно преобразовывать примеры так, чтобы можно было использовать эквиваленты?

[Someone]

Stealins в сообщении #1537864 писал(а):

Первое, о чем хочется спросить, почему применение эквивалентов в сумме или разности функций не допустимо, и приводит к неправильному результату?

Не всегда. Просто если точность представления недостаточная, то все выписанные члены могут сократиться, и тогда результат получится неправильным. Каждое слагаемое нужно разложить до такого члена, который при приведении подобных членов не сократится.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Stealins в сообщении #1537864 писал(а):

Если применить сразу, то выйдет, что предел равен нулю.

Как? Разве что полностью игнорировать эти $o$. У Вас $\sin x=x+o(x), \tg x=x+o(x)$, значит, при $x\to 0$ числитель есть $o(x)$, а вся дробь $o(x^{-2})$. Отсюда нельзя найти предел.

[Mikhail_K]

Stealins в сообщении #1537864 писал(а):

Первое, о чем хочется спросить, почему применение эквивалентов в сумме или разности функций не допустимо, и приводит к неправильному результату? Я понимаю эквиваленты, как разложение функции в ряд Тейлора с наименьшей точностью, то есть $\sin x \sim x + o(x)$ означает, что я разложил синус до первой степени, а все остальное перенес в о малое. Если я хочу повысить точность, можно написать $\sin x \sim x - \frac {x^3} {3!} + o{}(x^3)$.

Ну так и не пользуйтесь "эквивалентами" (они действительно могут запутать с непривычки), а пользуйтесь равенствами. Верны оба равенства: $\sin x = x + o(x)$ и $\sin x = x - \frac {x^3} {3!} + o{}(x^3)$. Так как эти равенства верны, вы можете ими пользоваться (обоими) при нахождении любого предела.

Stealins в сообщении #1537864 писал(а):

Если применить сразу, то выйдет, что предел равен нулю.

Напишите подробно всю цепочку равенств, как это у Вас получается:

$$ \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3}=\ldots=0. $$

Тогда можно будет сказать, где у Вас ошибка. Не забывайте про о-малые, не отбрасывайте их в Ваших преобразованиях без причины. Конечно, при этом Вы можете пользоваться определением о-малого, в частности тем что

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0,\quad \lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x^3)}{x^3}=0. $$

[Stealins]

Mikhail_K в сообщении #1538084 писал(а):

Stealins в сообщении #1537864 писал(а):

Первое, о чем хочется спросить, почему применение эквивалентов в сумме или разности функций не допустимо, и приводит к неправильному результату? Я понимаю эквиваленты, как разложение функции в ряд Тейлора с наименьшей точностью, то есть $\sin x \sim x + o(x)$ означает, что я разложил синус до первой степени, а все остальное перенес в о малое. Если я хочу повысить точность, можно написать $\sin x \sim x - \frac {x^3} {3!} + o{}(x^3)$.

Ну так и не пользуйтесь "эквивалентами" (они действительно могут запутать с непривычки), а пользуйтесь равенствами. Верны оба равенства: $\sin x = x + o(x)$ и $\sin x = x - \frac {x^3} {3!} + o{}(x^3)$. Так как эти равенства верны, вы можете ими пользоваться (обоими) при нахождении любого предела.

Stealins в сообщении #1537864 писал(а):

Если применить сразу, то выйдет, что предел равен нулю.

Напишите подробно всю цепочку равенств, как это у Вас получается:

$$ \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3}=\ldots=0. $$

Тогда можно будет сказать, где у Вас ошибка. Не забывайте про о-малые, не отбрасывайте их в Ваших преобразованиях без причины. Конечно, при этом Вы можете пользоваться определением о-малого, в частности тем что

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0,\quad \lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x^3)}{x^3}=0. $$

Я имел ввиду такое преобразование: $ \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3}=\frac {x - x} {x^3}=0.$. Правильно понимаю, что это неверно, потому что точность моих приближений синуса и тангенса слишком мала, чтобы сравнить адекватно их разность? К тому же в экивалентах отбрасывается о малое. Вообщем эквиваленты действительно сбивают с толку. Т.е как сказал человек с ником "Someone" раскладывать нужно до того момента, пока все выписанные члены в разложении перестанут сокращаться, верно? Тогда меня сбивает с толку фраза с задачника, которая говорит, что в эквивалентах не хватает точности чтобы сравнить числитель со знаменателем, когда, оказывается, из за неточности мы не можем адекватно оценить разность в числителе, а не само отношение

[zykov]

Stealins в сообщении #1538086 писал(а):

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3}=\frac {x - x} {x^3}=0.$

$\lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3}=\frac {x - x+o(x)} {x^3}=\frac {o(x)} {x^3}$, что равно неизвестно чему.
$\frac{x^2}{x^3}$ - будет бесконечность, $\frac{x^3}{x^3}$ - будет 1, $\frac{x^4}{x^3}$ - будет 0

[Stealins]

svv в сообщении #1538082 писал(а):

Stealins в сообщении #1537864 писал(а):

Если применить сразу, то выйдет, что предел равен нулю.

Как? Разве что полностью игнорировать эти $o$. У Вас $\sin x=x+o(x), \tg x=x+o(x)$, значит, при $x\to 0$ числитель есть $o(x)$, а вся дробь $o(x^{-2})$. Отсюда нельзя найти предел.

Как раз таки я говорю про полное игнорирование этими о. Вопрос в том, почему если мы числитель к виду функция умножить на функцию, то мы сможем применять экиваленты без учета о малых, т.е

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x(1 - \cos x)} {x^3} = \frac {x \frac {x^2} {2}} {x^3} = \frac {1} {2}$$

Почему в этом случае отбросили о малое - непонятно. Понимаю только в том случае, что мы заранее знали, что в числителе выйдет $x^3$, которое сократится

[svv]

Stealins в сообщении #1538092 писал(а):

если мы числитель [приведём] к виду функция умножить на функцию, то мы сможем применять экиваленты без учета о малых

Не сможем. Такое преобразование

Stealins в сообщении #1538092 писал(а):

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x(1 - \cos x)} {x^3} = \frac {x \frac {x^2} {2}} {x^3} = \frac {1} {2}$$

возможно не только потому, что числитель представлен в виде произведения, но и потому, что мы уже откуда-то знаем, что $\cos x=\frac{\sin x}{\tg x}=1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$ при $x\to 0$. Если бы мы, например, знали только, что $\cos x=1+o(1)$, то мы бы не смогли найти предел, даже представив исходную функцию в виде $\frac{\tg x(1-\cos x)}{x^3}$.

[mihaild]

Stealins в сообщении #1538092 писал(а):

Почему в этом случае отбросили о малое - непонятно

Потому что решение в лучшем случае неполное, а скорее неправильное. Нужно не отбрасывать о малое, а честно переходить к пределу. Тогда и вопросов "где правильно, где неправильно" не возникнет. Просто если исходная точность была недостаточна, то к пределу перейти не сможем, потому что получим что-то вроде $\lim\limits_{x \to 0} o\left(\frac{1}{x}\right)$.

[Mikhail_K]

Stealins в сообщении #1538086 писал(а):

Я имел ввиду такое преобразование: $ \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3}=\frac {x - x} {x^3}=0.$. Правильно понимаю, что это неверно, потому что

Это неверно, потому что Вы пропускаете промежуточные шаги. Чтобы разобраться, где ошибка, надо писать максимально подробно, чтобы каждый шаг был очевидным. Например так:

$$ \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tg x - \sin x} {x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac {(x+o(x)) - (x+o(x))} {x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x)-o(x)}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x)}{x^3}=\ldots$ $$

и что дальше? Мы зашли в тупик, потому что верны только равенства

Mikhail_K в сообщении #1538084 писал(а):

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0,\quad \lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x^3)}{x^3}=0. $$

а чему равен получившийся у нас предел, непонятно.

Заметьте, здесь мы использовали что $o(x)-o(x)=o(x)$. Это должно быть понятно исходя из того, что $o(x)$ - это не какая-то конкретная функция, так может обозначаться любая функция такая что $\lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0$. И если есть две такие функции, $f(x)=o(x)$ и $g(x)=o(x)$, то

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-g(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}-\lim\limits_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}=0-0=0, $$

так что $f(x)-g(x)=o(x)$ тоже.

А насчёт "отбрасываний о-малых", "недостаточной точности приближения" и т.д. - это всё жаргон, который можно применять, только когда вы разобрались с такими примерами на подробном уровне и некоторые шаги делаете просто в уме.

[ewert]

Stealins в сообщении #1538092 писал(а):

Вопрос в том, почему если мы числитель к виду функция умножить на функцию, то мы сможем применять экиваленты без учета о малых

Потому что есть теоремка: общий множитель можно заменять на эквивалентное (она банально следует из теоремы о пределе произведения). Но это если он именно общий. А насчёт отдельных слагаемых подобной теоремки нет и быть не может. Почему -- Вам объяснили.

Да, немножко добавлю. Равенство типа $\tg x-\sin x=\big(x+o(x)\big)-\big(x+o(x)\big)=o(x)$ -- это точное равенство. Здесь нет никаких ни недомолвок, ни договорённостей. А вот вопрос о том, окажется это равенство полезным или нет -- уже совсем другой. Тут уж как повезёт.