Понять преобразование в "Элем. теория вер." Ширяева А.Н.

[captsmollet]

Здравствуйте!

Пытаюсь понять преобразование автора. Книга "Вероятность-1" Ширяев А.Н., стр. 32.
Вот такой контекст:

Цитата:

Покажем, что если пространство исходов $\Omega$ состоит из конечного числа точек $\omega_1, …,\omega_N$,
то общее число $N(\mathcal{A})$ множеств, составляющих систему множеств $\mathcal{A}$ (совокупность всех,
включая пустое множество, подмножеств $\Omega$), равно $2^N$.

Действительно, каждое непустое множество $A \in$ $\mathcal{A}$ может быть представлено в виде

$A = \left\lbrace \omega_i_1, …,\omega_i_k \right\rbrace$, где $\omega_i_j \in \Omega$, $1 \leqslant k \leqslant N$

Поставим в соответствие этому множеству последовательность, состоящую из нулей и единиц:

$(0, …, 0, 1, 0, …, 0, 1, …)$,

где на местах с номерами $i_1, …, i_k$ стоят единицы, а на остальных - нули.
Тогда при фиксированном $k$ число различных множеств $A$ вида $\left\lbrace \omega_i_1, …,\omega_i_k \right\rbrace$ совпадает с числом способов,
которыми можно $k$ единиц разместить по $N$ местам.
Число таких способов равно $C^k_N$ (ранее в книге устанавливается, что $C^l_k = \frac{k!}{l! (k - l)!}$ - "число сочетаний из $k$ элементов по $l$").
Отсюда (с учетом пустого множества) находим, что

$N(\mathcal{A}) = 1 + C^1_N + … + C^N_N = (1 + 1)^N = 2^N$

И вот это последнее преобразование я не смог понять. Откуда взялось $(1+1)^N$ ?
Заранее спасибо!

[StaticZero]

captsmollet, раскройте биномчик $(1+1)^n$

[captsmollet]

StaticZero в сообщении #1537648 писал(а):

captsmollet, раскройте биномчик $(1+1)^n$

StaticZero, спасибо большое!
Как это возмутительно просто!
Особенно возмутительно после недели бессмысленного замешивания факториалов в этих биномиальных коэффициентах под разными соусами.

[zykov]

captsmollet в сообщении #1537683 писал(а):

Особенно возмутительно после недели бессмысленного замешивания факториалов

Так для этого в учебнике и написано $(1+1)^n$, чтобы всё сразу было очевидно.
Ещё можно раскрыть $(1-1)^n$ и получить другое равенство (неочевидное при чётном $n$).
А можно такое $(p+q)^n$, где $q=1-p$ (тут если $p=\frac12$, то получится первое равенство).