В 1977 году Тержанян доказал "первый случай" теоремы Ферма для чётных степеней:
Равенство
не имеет нетривиальных решений в целых числах, при условии n - нечётное число >1 и
не делятся на
.
Предположим
, где
и
не имеют общих делителей. Тогда
и
не могут быть оба нечётными числами, иначе правая часть делится на 4, а левая часть не делится. Предположим
- чётное, а
-нечётное число. Тогда
-нечётное число, и
Поскольку доказывается только "первый случай" теоремы Ферма, в котором
не делится на
, то можно показать, что все три множителя в правой части не имеют общих делителей и значит являются квадратами целых чисел.
Полиномы
и
не могут оба быть квадратами на основании следующей леммы:
Лемма.
---------
Пусть
и
- нечётные взаимно-простые целые числа дающие одинаковые остатки при делении на 4.
Тогда
не является квадратом целого числа.
Тержанян дал несложное доказательство этой леммы, используя закон квадратичной взаимности.
Я нашёл другое доказательство в частном случае, если
имеет нечётный делитель, дающий при делении на 4 остаток 3.
Доказательство:
По условию
имеет делитель
вида
. Легко проверить, что
даёт при делении на
такой же остаток как
. Поскольку по условию
делится на 4,
- нечётное число и
- чётное число, то
даёт при делении на 4 такой же остаток как
, то есть остаток 3. Поэтому
имеет простой делитель p, дающий при делении на 4 остаток 3.
Легко проверить, что имеет место тождество:
Поскольку
делится на
, то правая часть тождества делится на
.
Для простоты предположим сначала, что
делится на 4. Если бы число
было квадратом целого числа, то сумма двух квадратов целых взаимно-простых чисел делилась бы на
, а это невозможно, поскольку
даёт остаток 3 при делении на 4.
Значит
не является квадратом целого числа, что и требовалось доказать.
Можно и не предполагать, что
делится на 4, поскольку
делится на
.