2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 15:44 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
epros в сообщении #1537122 писал(а):
Что такое "расстановка скобок"?
Это и есть Ассоциативность: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Вот-вот, и я об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 18:55 


22/10/20
1188
zykov в сообщении #1537129 писал(а):
Это и есть Ассоциативность: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
Ассоциативность - это свойство независимости результата операции от расстановки скобок для трех операндов. Т.е. частный случай. Общий случай независимости - он для $n$. Если операция ассоциативна, то результат ее применения к $n$ операндам не зависит от расстановки скобок в выражении. Доказывается индукцией начиная с $n = 3$ (база как раз выполняется благодаря ассоциативности). В обратную сторону тривиально. Таким образом, это как бы отдельное утверждение, эквивалентное ассоциативности (и имеющее более прозрачный смысл на мой взгляд).

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 18:57 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
$3$ проще чем $n$
аксиомы всегда стараются привести в наипростейшем виде

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
EminentVictorians в сообщении #1537157 писал(а):
Таким образом, это как бы отдельное утверждение, эквивалентное ассоциативности (и имеющее более прозрачный смысл на мой взгляд).
До "более прозрачного смысла" так и не добрались, ибо на мой вопрос "что такое расстановка скобок" не было отвечено. Хорошо, тогда отвечу я. Скобки расставляются не абы как произвольным образом неизвестно для чего. Скобки определяют порядок выполнения операций. Так что ассоциативность означает независимость от порядка выполнения операций. И по вполне очевидным причинам для её наличия в самом общем случае достаточно определения из трёх операндов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
EminentVictorians в сообщении #1537157 писал(а):
Таким образом, это как бы отдельное утверждение, эквивалентное ассоциативности (и имеющее более прозрачный смысл на мой взгляд).

Допустим, мы заменили аксиому ассоциативности на аксиому "произвольности скобок". Как будете доказывать, что целые числа есть группа по сложению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 19:57 


22/10/20
1188
epros, я думаю, что мы в принципе говорим об одном и том же, так что согласен со всем вышенаписанным.
мат-ламер в сообщении #1537166 писал(а):
Допустим, мы заменили аксиому ассоциативности на аксиому "произвольности скобок". Как будете доказывать, что целые числа есть группа по сложению?
Дак обычная ассоциативность из "произвольности скобок" сразу следует. Ничего же не теряется и не приобретается. Просто замена одного определения на ему эквивалентное другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
мат-ламер в сообщении #1537166 писал(а):
Как будете доказывать, что целые числа есть группа по сложению?

EminentVictorians в сообщении #1537169 писал(а):
Дак обычная ассоциативность из "произвольности скобок" сразу следует.

Этим вы не докажете, что целые числа есть группа по сложению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
EminentVictorians в сообщении #1537169 писал(а):
Просто замена одного определения на ему эквивалентное другое.

А где было "эквивалентное другое определение"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
EminentVictorians в сообщении #1537169 писал(а):
из "произвольности скобок" сразу следует

Вот такая: $(a+b+c)$ "расстановка скобок" Вас устроит? Так что когда попытаетесь объяснить, какие "расстановки скобок" являются "законными", то убедитесь, что Ваш вариант определения отнюдь не проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 20:13 


22/10/20
1188
мат-ламер в сообщении #1537170 писал(а):
Этим вы не докажете, что целые числа есть группа по сложению.
Почему? Мы знаем, что они ассоциативны, существует ноль и противоположный для любого. А значит и эквивалентной аксиоматике группы удовлетворяют.
epros в сообщении #1537172 писал(а):
Вот такая: $(a+b+c)$ "расстановка скобок" Вас устроит?
Это же не имеющая смысла запись. Мы можем опускать скобки в выражении после того, как установили тот самый факт независимости результата от расстановки скобок. От имеющей смысл расстановки скобок. Это предполагается в самом утверждении. И как только мы эту независимость установили, то тогда уже можно писать $a + b + c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
мат-ламер в сообщении #1537170 писал(а):
Этим вы не докажете, что целые числа есть группа по сложению.

EminentVictorians в сообщении #1537173 писал(а):
Почему?

Мы читаем определение группы. Там аксиома "произвольности скобок".
EminentVictorians в сообщении #1537169 писал(а):
Дак обычная ассоциативность из "произвольности скобок" сразу следует

Согласен. С очевидностью.
EminentVictorians в сообщении #1537173 писал(а):
Мы знаем, что они ассоциативны,

Согласен. Целые числа ассоциативны. С очевидностью.

И что? Мы уже доказали, что целые числа есть группа по сложению?

Что-то я вечером плохо соображаю. Завтра в тему вернусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 20:30 


22/10/20
1188
мат-ламер, а из обычной ассоциативности следует "произвольность скобок". Я же выше написал, что эти 2 определения эквивалентны. Поэтому все тут с целыми числами нормально доказано я думаю.

-- 31.10.2021, 20:32 --

EminentVictorians в сообщении #1537157 писал(а):
Общий случай независимости - он для $n$. Если операция ассоциативна, то результат ее применения к $n$ операндам не зависит от расстановки скобок в выражении. Доказывается индукцией начиная с $n = 3$ (база как раз выполняется благодаря ассоциативности).
вот здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
EminentVictorians в сообщении #1537173 писал(а):
От имеющей смысл расстановки скобок. Это предполагается в самом утверждении
Вас с такими "определениями по понятиям" не поймут. Скажут: Определите, какие расстановки скобок "имеют смысл".

-- Вс окт 31, 2021 21:35:46 --

мат-ламер в сообщении #1537174 писал(а):
Согласен. Целые числа ассоциативны. С очевидностью.
Кстати, что-то я не заметил, чтобы здесь это кто-то доказывал. "Очевидность", разумеется, не доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сложение?
Сообщение31.10.2021, 20:35 


22/10/20
1188
epros вот смотрите. Есть утверждение о независимости результата алгебраического выражения от расстановки скобок. О чем оно? Об алгебраических выражениях. $(a+b) + c$ это алгебраическое выражение. $(()a)+b)()$ вот это не является алгебраическим выражением. Такие случаи не рассматриваются по умолчанию, зачем их обсуждать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group