Как посчитать <x, d(Ax^2)>?

[toofack]

Нужно найти градиент функции
$f(x) = x^TAx^2$
Где $x^2 = (x_1^2, x_2^2,..., x_n^2)^T$
Я начал так:

$$d(f(x)) = d(x^TAx^2) = d<x,Ax^2> = <dx,Ax^2> + <x, d(Ax^2)>$$

Но здесь я не до конца понимаю, как посчитать $d(Ax^2)$. Верное ли вообще направление или легче бы было по определению расписать?

[zykov]

toofack в сообщении #1537045 писал(а):

как посчитать $d(Ax^2)$.

$d(Ax^2)=Ad(x^2)=A(2[x, dx])$, где $[x,y]=(x_1 y_1, x_2 y_2, ..., x_n y_n)$.

[мат-ламер]

Если в координатах, то второе слагаемое градиента можно записать как

$2\sum\limits_{j}a_i_jx_ix_j$ .

Никак не смог сообразить, как записать это в матрично-векторном виде. Думаю, лучше всего записать это как 2(Ax)_.x$ , где точка внизу обозначает покоординатное умножение (как в Матлабе). И понятно, откуда эта точка возникает. Дело в том, что $x^2$ на самом деле есть $x.x=x^2_.$ .

Сейчас сообразил, что точка внизу у меня, это то же самое, что в предыдущем посту квадратные скобки, которые я сразу не понял. Дело в том, что градиент, это вектор. Запись топик-стартера в первом посту с угловыми скобками тоже непонятна. Если они обозначают скалярное произведение, то у него получается скаляр в ответе.

Наверное, правильно ответ в задаче записать так:

$\nabla f(x) = Ax_.^2+2(Ax)_.x$ , где точка внизу - символ покомпонентного умножения (возведения в квадрат).

(Оффтоп)

Приношу извинения, что несколько раз переписывал пост. Что-то затупил капитально.

[toofack]

мат-ламер в сообщении #1537057 писал(а):

Если в координатах, то второе слагаемое градиента можно записать как

$2\sum\limits_{j}a_i_jx_ix_j$

Это вы скалярное произведение $<x, d(Ax^2)>$ расписали так ?

-- 30.10.2021, 20:34 --

Верно ли я понимаю, что второе слагаемое, если расписать в сумму, то получится
$2\sum\limits_{j}(a_i_jx_ix_j)dx$
что можно представить в скалярном произведение как
$<2(x^TA*x),dx>$
где $x*y$ поэлементное умножение или где-то ошибся?

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1537057 писал(а):

Если они обозначают скалярное произведение, то у него получается скаляр в ответе.

Так ТС и ищет скаляр. $f$ - это скаляр. Он ищет $df$, которая тоже скаляр.

[мат-ламер]

toofack в сообщении #1537078 писал(а):

Это вы скалярное произведение $<x, d(Ax^2)>$ расписали так ?

Нет. Я исходил из исходной задачи вычисления градиента. Сначала запутался. Потом расписал в координатах. Потом стал думать, как записать это красивее в векторно-матричном виде.

Я вообще сомневаюсь, что этот член можно записать в виде скалярного произведения.

[toofack]

мат-ламер в сообщении #1537081 писал(а):

Я вообще сомневаюсь, что этот член можно записать в виде скалярного произведения.

Хм, буду думать, вроде бы получается, если прямо расписать,
$<x, A(x_1dx_1, x_2dx_2, ..., x_ndx_n)^T> = \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{21}x_2 + ... + a_{n1}x_n \\ a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{n2}x_n \\ .... \\ a_{1n}x_1 + a_{2n}x_2 + ... + a_{nn}x_n \end{pmatrix}^T (x_1dx_1, .. , x_ndx_n)^T = ( a_{11}x_1 + a_{21}x_2 + ... + a_{n1}x_n) x_1dx_1 + ... + ( a_{1n}x_1 + a_{2n}x_2 + ... + a_{nn}x_n) x_ndx_n = $\sum\limits_{j}a_i_jx_ix_j dx_j $
Но сумма то же самое, что
$(B_1, B_2, ..., B_n)(dx_1, ... ,dx_n)^T = <B, dx>$
Где $B_i = (a_{1i}x_1 + a_{2i}x_2 + ... + a_{ni}x_n) x_i$
Или где-то ошибаюсь.

[мат-ламер]

toofack в сообщении #1537083 писал(а):

Или где-то ошибаюсь.

Не проверял. Но это ещё не ответ. Попробуйте из этого составить ответ.

[zykov]

$$f=\sum_{i,j} A_{ij} x_i x_j^2$$

тогда

$$\operatorname{grad} f = \sum_j A_{ij} x_j^2 + 2\sum_i A_{ij} x_i x_j = A(x^2)+ 2[A^T x, x]$$

здесь опять $[*,*]$ - поэлементное умножение двух векторов.

[toofack]

zykov в сообщении #1537087 писал(а):

$$f=\sum_{i,j} A_{ij} x_i x_j^2$$

тогда

$$\operatorname{grad} f = \sum_j A_{ij} x_j^2 + 2\sum_i A_{ij} x_i x_j = A(x^2)+ 2[A^T x, x]$$

здесь опять $[*,*]$ - поэлементное умножение двух векторов.

Что-то тороможу, тут точно $A^Tx$, a не $x^TA$?

[zykov]

toofack в сообщении #1537090 писал(а):

тут точно $A^Tx$, a не $x^TA$?

$A^Tx$ - это вектор столбец. $x^TA$ - это вектор строка соответствующая этому столбцу.
Скобки $[]$ я опредили так, что там два вектора столбца должно быть - для соответствия вашему $x^2=[x,x]$.