Взаимодействие частиц

[letoo]

Две частицы массой $m$ каждая, имеющие одинаковые заряды $q$, удерживаются на расстоянии $L$ друг от друга. После освобождения одной из частиц другую начинают двигать с постоянной
скоростью $V$ в направлении освобожденной. Найти наименьшее расстояние, до которого сблизятся частицы, и работу внешней силы к моменту сближения до этого минимального расстояния.

Думаю идея нахождения минимального расстояния через закон сохранение энергии для системы двух зарядов.
Так как в начале второй заряд был неподвижен, то он будет разгоняться с некоторым ускорением и приобретая скорость равную скорости первой частицы(которую двигают с постоянной скоростью) именно в этот момент и будет минимальное расстояние.
По закону сохранения энергии связывая начальное положении и до минимального расстояния
$\frac{mV^2}{2}+\frac{kq^2}{L}+A=\frac{mV^2}{2}+\frac{mV^2}{2}+\frac{kq^2}{L_0}$
$L_0$-минимальное расстояние
$A$-работа внешней силы
Возникает вопрос, как учесть работу внешней силы, действующей на заряд тем самым обеспечивая постоянство скорости

[Dmitriy40]

А почему бы не перейти в систему отсчёта второй частицы? Ведь тогда первая будет просто падать на неё с некоторой начальной скоростью $V$ в потенциальном поле второй. На кратчайшем расстоянии кинетическая энергия вся перейдёт в потенциальную и надо всего лишь учесть изменение потенциальной энергии от расстояния.

[letoo]

Dmitriy40
Честно я не понимаю что будет происходить при пересадке в СО второй частицы с полем и она еще неинерциальная.

[svv]

Инерциальная. То, что было до $t=0$, значения не имеет. Можете считать, что в лабораторной системе вторая частица всегда двигалась (и будет двигаться) со скоростью $V$ в направлении первой частицы, к моменту $t=0$ оказалась от неё на расстоянии $L$, и тут первую отпустили. Как всё это будет выглядеть в СО второй частицы?

[letoo]

svv
Выглядеть будет так: Вторая частица неподвижна, а первая движется к ней со скоростью $V$.
Насчёт поля тут не знаю.

[svv]

Поле при переходе в другую систему сохраняется, $E_x=E'_x$.
Тут скорости маленькие, релятивистские эффекты можно не учитывать.

[letoo]

svv
Все, понял:
$\frac{mV^2}{2}+\frac{kq^2}{L}=\frac{kq^2}{L_0}$

$L_0=\frac{L}{1+\frac{mv^2L}{2kq^2}}$ (Авторский ответ такой же)

Ищу работу: $\frac{mV^2}{2}+\frac{kq^2}{L}+A=\frac{mV^2}{2}+\frac{mV^2}{2}+\frac{kq^2}{L_0}$

$A=mV^2$ (У автора $A=\frac{3mV^2}{2}$) Может проблема в ЗСЭ?
P.S. Насчёт работы внешних сил я походу разобрался, там же еще внешняя сила со стороны другой частицы и её работу я посчитал и сложил с $A$ получил верное соотношение
А расстояние же $L_0$ в СО второй частицы, а в лабораторной СО как оно рассчитываться будет?

[svv]

Переход в другую систему отсчёта (когда речь не идёт о скоростях, близких к скорости света) описывается преобразованиями Галилея:
$x=x'+vt, y=y', z=z'$,
или в векторном виде
$\mathbf r=\mathbf r'+\mathbf v t$
Из этих преобразований следует, что для двух точек $a$ и $b$ выполняется $\mathbf r_a-\mathbf r_b=\mathbf r'_a-\mathbf r'_b$, и расстояния являются инвариантом.

Если бы в повседневной жизни расстояния (например, размеры предметов) менялись при переходе в другую СО, мы бы это давно заметили!

[letoo]

svv
Понял, спасибо.

[svv]

letoo
Задачу можно решить и не переходя в другую систему.
Обозначения: Координата второй частицы $Vt$, где $V=\operatorname{const}>0$. Координата первой частицы $x(t)$, её скорость $v=\frac{dx}{dt}$. При этом $Vt<x$, то есть вторая частица левее и движется вправо равномерно, а первая правее и тоже движется вправо, но с ускорением. Расстояние между частицами $r=x-Vt$.

Используем теорему о кинетической энергии:

Цитата:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Ускорение второй частицы равно нулю, поэтому и суммарная работа всех сил, действующих на неё, равна нулю. На первую частицу действует сила $F=\frac{kq^2}{r^2}$, работа которой $\int\limits_{x_0}^{x_1}F dx$. Преобразуем выражение под интегралом:
$F dx=F (dr+Vdt)=\frac{kq^2}{r^2} dr + m\frac{dv}{dt}Vdt=d\left(-\frac{kq^2}{r}+mVv\right)$
Беря разность значений выражения в скобках в конечный и начальный момент, найдём работу:
$mV^2-\frac{kq^2}{L_0}+\frac{kq^2}{L}$
Эта работа равна изменению кинетической энергии системы $\frac{mV^2}{2}$. Отсюда
$\frac{mV^2}{2}=\frac{kq^2}{L_0}-\frac{kq^2}{L}$