Что такое сложение?

[epros]

Resa в сообщении #1536557 писал(а):

Может быть есть какая-то философская книга, которая раскрывает смысл числа и операций над ним? Вот сегодня сидел и думал: зачем складывать, что такое арифметическая операция вообще?

Да просто исторически так сложилось, и все дела.
Но вообще-то до сложения был счёт, который по-умному именуется инкрементом.

[EminentVictorians]

Mikhail_K, можно еще один пример привести с группами, там ситуация та же самая. Стандартное определение: группа - это множество с ассоциативной бинарной операцией, в котором есть нейтральный элемент и для любого элемента существует ему противоположный. Может это конечно и только мой какой-то прикол, но мне, например, совсем неочевидно, почему мы так выделяем вот эти свойства "быть единицей" и "быть обратным". Я точно так же стал искать "базовые принципы", из которых эти аксиомы можно было бы вывести и благодаря википедии быстро нашел. Там один всего лишь базовый принцип: возможность (двустороннего) деления. Отсюда и определение: группа - это ассоциативная квазигруппа. А дальше уже очень легко вывести как теоремы существование и единственность единицы, обратного и т.д. Почему возможность деления важнее единицы и обратного я не знаю, но мне это как-то очевидно. Кстати, я практически уверен, что и ассоциативность можно так же откуда-то достать, из чего-то более базового. Но это уже сложно скорее всего будет.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1536853 писал(а):

Кстати, я практически уверен, что и ассоциативность можно так же откуда-то достать, из чего-то более базового.

А смысл?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1536755 писал(а):

Где-то на этом этапе мы должны осознать (вывести из базовых принципов), что нашему пространству ничего не остается, кроме как иметь базис - минимальное порождающее множество. И все базисы обязаны иметь одинаковое число векторов.

Без аксиомы выбора у пространства может вообще не быть базиса, а могут быть два базиса разных мощностей. И я в любом случае не понимаю, как вы собираетесь таким образом выйти из конечномерных пространств.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1536853 писал(а):

Mikhail_K, можно еще один пример привести с группами, там ситуация та же самая. Стандартное определение: группа - это множество с ассоциативной бинарной операцией, в котором есть нейтральный элемент и для любого элемента существует ему противоположный. Может это конечно и только мой какой-то прикол, но мне, например, совсем неочевидно, почему мы так выделяем вот эти свойства "быть единицей" и "быть обратным".

Для мотивации аксиом группы есть другое понятное объяснение. Группа - это, в первую очередь, группа преобразований, то есть взаимно-однозначных отображений какого-нибудь множества $X$ на себя. Если мы работаем с такими отображениями, то естественным образом возникают понятия композиции отображений и обратного отображения. Поэтому, если нам хочется иметь какое-то семейство таких отображений и работать только с ним, не привлекая никаких прочих отображений, то для любого отображения из семейства надо включить в это семейство и обратное отображение, а также для любых двух отображений из семейства надо включить и их композицию. Такое семейство мы и будем называть группой.

Примеров множество - от поворотов кубика-рубика до преобразований Лоренца в теории относительности. Тождественное отображение (нейтральный элемент) получится как композиция любого отображения и обратного к нему. Ассоциативность для композиции выполняется автоматически. А вот необходимость иметь деление, к слову, для групп преобразований не столь очевидна, эта возможность получается просто как побочный эффект. Поэтому я не стал бы основывать всё на делении, как предлагаете Вы.

Казалось бы, я определил сейчас не любые группы, а только группы преобразований, и остаётся вопрос, что такое "другие группы" и почему они определяются именно так. Но нет, любую группу можно понимать как группу преобразований. Именно, если у нас есть группа $G$, удовлетворяющая трём аксиомам группы, то можно рассмотреть изоморфную ей группу преобразований $G\to G$, поставив в соответствие каждому элементу $x\in G$ преобразование $f_x:\,G\to G$, $f_x(y)=x*y$. Или $y*x$, не суть.

P.S. Ваше объяснение аксиом линейного пространства меня не впечатлило (тем более что его до конца не понял ни я, ни, кажется, Вы сами), мне эти аксиомы кажутся самоочевидными сами по себе, а Ваше объяснение - наоборот, затрудняющим понимание. Но у всех разная интуиция.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1536858 писал(а):

А смысл?

Мне приятнее иметь дело с объектом, заданным характеристическим свойством, а не набором аксиом. Сама методология как-то больше нравится.

mihaild в сообщении #1536859 писал(а):

И я в любом случае не понимаю, как вы собираетесь таким образом выйти из конечномерных пространств.

Ну я имел в виду следующее. Мы как бы вдохновляемся пространством $K^n$. Потом берем и формулируем определение: Векторное пространство $V$ над полем $K$ - это множество с 2-мя операциями (сложение и умножение на элементы поля $K$), изоморфное $K^n$. Мне кажется на идейном уровне линейная алгебра именно от этого определения и отталкивалась. Потом мы хотим понять, как определить векторное пространство непосредственно, т.е. какие у нас есть достаточные условия. Если сформулировать просто свойства операций и получить обычный набор аксиом ВП, то это не будет достаточным условием (т.к. есть бесконечномерные ВП). А потом мы как бы вспоминаем, что занимаемся алгеброй, а значит все "неалгебраические" условия надо из определения выкинуть. Смотрим на $K^n$ и понимаем, что из "неалгебраических" условий там - конечность порождающего множества. И это очень здорово и говорит как раз таки в пользу системы аксиом: мы всю алгебру сохраняем, а конечность порождающего множества забываем. И после этого мы получим в точности стандартную систему аксиом. Я, возможно, слегка погорячился с их выводом (хотя я и не исключаю такую возможность), но если их не выводить, то их можно просто угадать, "срисовать" с $K^n$. Да, останутся вопросы, типа почему мы выбрали, например, коммутативность, а не что-то еще. Но с таким пониманием уже гораздо легче с аксиомами смириться.

Mikhail_K в сообщении #1536860 писал(а):

Группа - это, в первую очередь, группа преобразований

Да, мне тоже очень нравится это объяснение.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1536863 писал(а):

Мне приятнее иметь дело с объектом, заданным характеристическим свойством, а не набором аксиом. Сама методология как-то больше нравится.

Проблема в том, что "характеристические свойства" определяются аксиомами.

[Padawan]

Mikhail_K в сообщении #1536860 писал(а):

Именно, если у нас есть группа $G$, удовлетворяющая трём аксиомам группы, то можно рассмотреть изоморфную ей группу преобразований $G\to G$, поставив в соответствие каждому элементу $x\in G$ преобразование $f_x:\,G\to G$, $f_x(y)=x*y$. Или $y*x$, не суть.

Все-таки $f_x(y)=x*y$, иначе будет не изоморфная, а антиизоморфная группа преобразований.

[Mikhail_K]

Padawan в сообщении #1537035 писал(а):

Все-таки $f_x(y)=x*y$, иначе будет не изоморфная, а антиизоморфная группа преобразований.

Да, спасибо за уточнение!

[kernel1983]

Про кучки камней и аксиомы натуральных чисел тут уже писали. Можно обойтись и без аксиом Пеано - достаточно теории множеств Цермело-Френкеля. Эта теория настолько сильна, что позволяет определить натуральные числа, операции над ними, доказать существование и единственность множества натуральных чисел, доказать все аксиомы Пеано. Затем можно построить целые, рациональных, вещественные и комплексные числа. При построении множества натуральных чисел в рамках теории множеств нуль считается натуральным числом. Самое интересное, что натуральные числа строятся "из ничего" (из пустого множества, существование и единственность которого также можно доказать). Грубо говоря, пустое множество - это ящик, в котором ничего нет. Пусть, по определению, $0 = \varnothing$, $1= \{ \varnothing \}$, $2= \{ \varnothing , \{ \varnothing \}\}$ и т.д. Нуль - это пустой ящик, единица - ящик, в котором лежит пустой ящик, два - ящик, в котором лежит пустой ящик и ящик с пустым ящиком внутри. Таким образом, каждое последующее число содержит все предыдущие: $n+1=\{1,2, \ldots , n \}$. Итак, $n+1= n \cup \{n\} $.

Рекомендую посмотреть лекцию Беклемишева на эту тему - https://youtu.be/fXWIPwk9blM?list=PLvSfPEPY-Nd70SCJYPg5lGxbXQ4pMLXp8&t=2700 (с тайм-кодом).

-- 30.10.2021, 16:08 --

Resa в сообщении #1536557 писал(а):

что такое арифметическая операция вообще?

Это функция двух аргументов. Данное понятие также определяется в теории множеств.

-- 30.10.2021, 16:11 --

worm2 в сообщении #1536571 писал(а):

видимо, придётся смириться с тем, что стандартное аксиоматическое построение является самым простым и понятным путём постижения арифметики.

Можно свести на уровень теории множеств.

[мат-ламер]

kernel1983 в сообщении #1537052 писал(а):

Можно свести на уровень теории множеств.

Поскольку топик-стартер любит копать до основ, то следующим шагом топик-стартера по логике должна стать задача разобраться в системе Цермело-Френкеля. В частности, почему вообще эта система должна задавать чего-то разумное? То есть нужно разобраться в непротиворечивости этих аксиом. Причём ссылаться на арифметику мы не можем, поскольку арифметику мы выводим из множеств. Вот там уже будет виднеться дно.

[Nemiroff]

мат-ламер в сообщении #1537086 писал(а):

Вот там уже будет виднеться дно.

В этом дне снова будет люк в виде логики первого порядка. В который снизу постучат натуральные числа, о которых нужно знать заранее.

[epros]

kernel1983 в сообщении #1537052 писал(а):

Можно обойтись и без аксиом Пеано - достаточно теории множеств Цермело-Френкеля. Эта теория настолько сильна...

Слова про "обойтись" обычно подразумевают нечто достаточно слабое, а не наоборот "настолько сильное", что включает в себя всё, без чего "можно обойтись".

Тем, кто любит именно "множества" и предпочитает их числам, можно напомнить, что есть такие аксиоматики теории множеств, которые не сильнее арифметики Пеано.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1536853 писал(а):

Кстати, я практически уверен, что и ассоциативность можно так же откуда-то достать, из чего-то более базового.

А не вытекает ли ассоциативность из требования независимости от расстановки скобок? Ну то есть, если есть бинарная операция, для которой мы требуем, чтобы она не зависела от расстановки скобок, не будет ли она необходимо ассоциативной?

-- 31.10.2021, 13:17 --

Просто, если я не ошибаюсь, это условие независимости от расстановки скобок вроде бы в точности эквивалентно ассоциативности. Хотелось бы убедиться.

[epros]

Что такое "расстановка скобок"?