Странное поведение комплексных корней

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1536637 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1536634 писал(а):

$\operatorname{Ln}(-1)+\operatorname{Ln}(-1)$

$=\operatorname{Ln}(1)$
я так думаю.

Можно ли (и нужно ли) трактовать такие равенства как $\{ (2k+1)\pi i \} + \{ (2l+1) \pi i \} = \{ 2n \pi i\}$ ?

То есть речь идёт об операциях над многозначными функциями, которые можно трактовать, как функции заданные на соответствующей римановой поверхности. И что происходит при таких операциях с этими поверхностями?

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1536641 писал(а):

Можно ли (и нужно ли) трактовать такие равенства как

я трактовал именно так.

На остальные Ваши вопросы у меня нет ответа

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1536642 писал(а):

На остальные Ваши вопросы у меня нет ответа

У меня мнение, что операции над многозначными функциями, вещь скользкая. И непонятно, нужны ли они вообще. Допустим, мы определили, что такое произведение корней. А как определить сумму корней? Считать, что $\sqrt {-1}+\sqrt{-1}=\{ -2i, 0,2i \}$ ? Ну, допустим. Допустим сумму логарифмов определили. А можно ли определить их произведение? Чему равно, например, $\operatorname{Ln}(-1) \cdot \operatorname{Ln}(-1)$ ? И, главное, для чего всё это нужно? У меня пока ощущение о не вполне корректности вопроса из стартового поста.

В то же время есть и ощущение, что операции над многозначными функциями достаточно востребованы на практике. Но тогда тут надо глубоко влазить в теорию римановых поверхностей. А соответствующих знаний у меня нет, чтобы сказать что-то конкретное по этому поводу.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1536644 писал(а):

В то же время есть и ощущение, что операции над многозначными функциями достаточно востребованы на практике.

В ТФКП это стандарт.
И логарифм и целый корень - многозначные функции.

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1536644 писал(а):

У меня мнение, что операции над многозначными функциями, вещь скользкая.

Нет, если речь именно про функции (т.е. где чётко указана независимая переменная), особенно про такие, у которых есть вещественные аналоги, то тут стандартная процедура такая:
1) рассматриваем вещественные аналоги;
2) производим нужные операции именно с ними;
3) аналитически продолжаем на всю комплексную плоскость или на подходящую риманову поверхность.
Так, например, получается что $\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}$ - тоже двузначная функция, а не трёхзначная как здесь

мат-ламер в сообщении #1536644 писал(а):

Считать, что $\sqrt {-1}+\sqrt{-1}=\{ -2i, 0,2i \}$ ?

[мат-ламер]

zykov в сообщении #1536661 писал(а):

И логарифм
и целый корень
- многозначные функции.

Это и понятно. Но это и не обсуждается. Речь идёт об операциях над многозначными функциями, которые на самом деле, если строго подходить, являются однозначными.

zykov в сообщении #1536661 писал(а):

В ТФКП это стандарт.

Эту фразу я не понял. Точнее не понял ни одного слова в ней. На счёт того, что там "в ТФКП", я не знаю. Что такое "это" и что такое "стандарт"? Давайте поставим вопрос так. Является ли стандартом изложение темы операций над аналитическими функциями в хороших нормальных учебниках по ТФКП? Вообще эта тема кое-где обсуждается. Например, в учебнике Шабунина и Сидорова в параграфе 18.5 - "Арифметические операции над аналитическими функциями". Но я бы не сказал, что изложение там стандартное и исчерпывающее. Так, например, там вообще аналитическая функция определяется, как множество "элементов". Я бы не сказал, что это "стандарт" изложения.