Рациональные точки на (5*y^4-3)*(y^4+1) = x^2

[Volik]

Доброго дня всем. На кривой $(5 y^4-3) (y^4+1) = x^2$ конечное число рациональных точек, согласно Maple и Фальтингсу. Можно ли доказать что их всего 4 $( x=\pm 1, y=\pm 2 )$. Или найти еще хоть одну?
Кроме исходного уравнения, я рассматривал $(5 y^2-3) (y^2+1) = x^2$ и $(5 y-3) (y+1) = x^2$ .
Первое из них, согласно Maple, имеет род 1 и может иметь как конечное так и бесконечное число рациональных точек . Но остались не решенными те же вопросы .
Для последнего уравнения все дополнительные рациональные точки имеют координаты $( x = \frac{2 (5 m^2+6 m+1)}{5 m^2-1}, y = \frac{7 m^2+4 m+1}{1-5 m^2} )$. Тогда вопрос: Могут ли они одновременно быть 4-ми степенями рациональных чисел?
Заранее благодарен за конструктив.

-- 24.10.2021, 14:25 --

Извиняюсь за ошибку.
Вместо "Могут ли они одновременно быть 4-ми степенями рациональных чисел?" ,вопрос: Может ли y быть 4-й степенью рационального числа при рациональном x?

[zykov]

Volik в сообщении #1536200 писал(а):

что их всего 4 $( x=\pm 1, y=\pm 2 )$.

Наоборот наверно.

[Volik]

Спасибо, извиняюсь за невнимательность.

[scwec]

Volik в сообщении #1536200 писал(а):

Первое из них, согласно Maple, имеет род 1 и может иметь как конечное так и бесконечное число рациональных точек

В данном случае (поскольку ранг кривой больше нуля) бесконечное число рациональных точек. Среди них есть и нетривиальные целые точки. Например, $x=\pm{110},y=\pm{7}$

[Volik]

Спасибо, но я для исходного уравнения доказал, что кроме $( x= \pm 2, y= \pm 1 )$ нет рациональных точек!
Представил его в целых числах $(5 y_1^4-3 y_2^4) (y_1^4+y_2^4) = x^2$
Рассмотрел 2 вспомогательных уравнения $y_1^4+y_2^4 = x_0 x_1^2$ и $5 y_1^4-3 y_2^4 = x_0 x_2^2$
Их линейные комбинации $8 y_1^4 = (3 x_1^2+x_2^2) x_0$ и $8 y_2^4 = (5 x_1^2-x_2^2) x_0$
Из них прямо следует $x_0=2, x_1= \pm 1, x_1= \pm 1, y_1= \pm 1, y_2= \pm 1$ и ,следовательно,
$x=\frac{x_0 x_1 x_2}{y_1^2 y_2^2}= \pm 2 ,y=\frac{y_1}{y_2}= \pm 1$
Но оказалось, что для моей задачи это дает частное и бесполезное решение.
По поводу рода 1. Кривая $x^3+y^3=1$ имеет только две рациональные точки!

[scwec]

Volik в сообщении #1536301 писал(а):

По поводу рода 1. Кривая $x^3+y^3=1$ имеет только две рациональные точки!

Конечно, ранг этой эллиптической кривой ноль, поэтому бесконечного числа рациональных точек на ней не может быть.

[nnosipov]

Volik в сообщении #1536301 писал(а):

Кривая $x^3+y^3=1$ имеет только две рациональные точки!

А еще верна ВТФ для показателя 3.

[Volik]

Это понятно. Я просто привел контр пример к утверждению что кривая рода 1 имеет бесконечно иного рациональных точек.

[scwec]

Volik в сообщении #1536336 писал(а):

Я просто привел контр пример к утверждению что кривая рода 1 имеет бесконечно иного рациональных точек.

Поясняю.
Такого утверждения. относящегося ко всем кривым рода $1$ в теме не было.
Кривая рода $1$ несет на себе бесконечное число рациональных точек, только если ранг её больше нуля.
Так, кривая $(5y^2-3)(y^2+1)=x^2$ рода $1$ имеет ранг равный $1$ и на ней бесконечно много рациональных точек.
А вот кривая $x^3+y^3=1$ рода 1 имеет ранг равный нулю и на ней конечное число рациональных точек (только точки кручения).

[Volik]

Это я смягчил утверждение "В данном случае (поскольку ранг кривой больше нуля) бесконечное число рациональных точек."
Поскольку для ранга больше 1 это совсем не верно.

[scwec]

Volik в сообщении #1536349 писал(а):

Поскольку для ранга больше 1 это совсем не верно.

Читайте внимательней сообщения.
И не путайте род и ранг.
Вот кривая $x^3+y^3=19$. Род её $1$, ранг равен $2$, рациональных точек на ней бесконечное число.
Соответствующие независимые генераторы $(3,-2), (36/13, -17/13)$
И что для этой кривой совсем не верно?

[Volik]

В очередной раз извиняюсь за невнимательность!