2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение14.10.2021, 21:59 
Аватара пользователя


26/11/14
582
Доброго времени суток. Уважаемые, подскажите, как без знания ряда Тейлора представить функции: $f(x)=\arcsin 4x ,\, f(x)=^3\sqrt{1+x}$ в виде: $f(x)=a+bx+cx^2+o(x)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение14.10.2021, 22:04 


18/09/21
670
взять пределы

-- 14.10.2021, 22:05 --

с кубическим корнем - возвести многочлен в куб

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение14.10.2021, 22:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24053
Кронштадт
Ну что-то соответствующее все-таки знать надо. Например, что синус малого угла примерно равен самому углу... Во втором случае, впрочем, проще приравнять искомое разложение (с неизвестными коэффициентами) к корню, возвести равенство в куб и добиться равенства коэффициентов при соответствующих степенях.

P.S. Если что, кубический корень набирается так: $\sqrt[3]{x+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение14.10.2021, 22:16 
Аватара пользователя


26/11/14
582
Спасибо, пока понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 08:10 
Аватара пользователя


26/11/14
582
Застрял безнадежно. Пытаюсь представить $\sin x = a + bx + cx^2 + dx^3 + o(x^3)$. Используя: $\sin x \sim x $ или $\sin x = x + o(x) $ и четность, понятно: $b=1, \, a=c=0$. Из разложения: $\sin x = x + dx^3 + o(x^3)$ ищу $d$ через предел:

$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac{\sin x - x}{x^3} =  b $. Подскажите, можно ли без Лопиталя и Тейлора обойтись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 08:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7943
Москва
Приравниваем арксинус к желаемому полиному и берём синус от обеих частей. Затем расписываем синус суммы, косинусы заменяем на единицы, синусы на x, ввиду малости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 09:02 
Аватара пользователя


26/11/14
582
Благодарствую

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Stensen в сообщении #1534967 писал(а):
Доброго времени суток. Уважаемые, подскажите, как без знания ряда Тейлора представить функции: $f(x)=\arcsin 4x ,\, f(x)=^3\sqrt{1+x}$ в виде: $f(x)=a+bx+cx^2+o(x)$ ?

Осмелюсь заметить, что такое разложение вполне бессмысленно в его третьем члене.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение15.10.2021, 21:55 
Аватара пользователя


26/11/14
582
Да, там косяк, должно быть $ o(x^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение16.10.2021, 01:52 
Заслуженный участник


18/01/15
2592
Вычислить пердел ой, виноват, предел... $\lim_{x\to 0} (\sqrt[3]{1+x}-1)/x $ способом "домножить на сопряженное". И затем предел $\lim_{x\to 0}(\sqrt[3]{1+x}-1-ax)/x^2$, где $a$ --- найденное ранее значение первого предела, опять тем же способом. Подозреваю, что так делали примерно во времена Ньютона.

-- 16.10.2021, 01:32 --

(В общем, на манер примеров с корнями из Демидовича, номер 437 и далее). С тригонометрическими, думаю, тоже как-то так можно, только не знаю как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение16.10.2021, 07:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5015
Нов-ск
Stensen в сообщении #1534987 писал(а):
Застрял безнадежно. Пытаюсь представить $\sin x = a + bx + cx^2 + dx^3 + o(x^3)$. Используя: $\sin x \sim x $ или $\sin x = x + o(x) $ и четность, понятно: $b=1, \, a=c=0$. Из разложения: $\sin x = x + dx^3 + o(x^3)$ ищу $d$ через предел:

$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac{\sin x - x}{x^3} =  b $. Подскажите, можно ли без Лопиталя и Тейлора обойтись?

$\sin(x)=x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots$
$\sin(x)=3\sin(t)-4\sin^3(t), \;\; t=x/3$
$x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots=3(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)-4(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)^3$

А если вот так последовательно находить коэффициенты, приравнивая одинаковые степени слева и справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение16.10.2021, 12:27 
Аватара пользователя


26/11/14
582
TOTAL в сообщении #1535075 писал(а):
$\sin(x)=x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots$
$\sin(x)=3\sin(t)-4\sin^3(t), \;\; t=x/3$
$x+bx^2+cx^3+dx^4+\cdots=3(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)-4(t+bt^2+ct^3+dt^4+\cdots)^3$

А если вот так последовательно находить коэффициенты, приравнивая одинаковые степени слева и справа.
Спасибо, все понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение22.10.2021, 07:01 
Заслуженный участник


13/12/05
4205
А как доказать, что разложение $\sin x=x+bx^2+cx^3+o(x^3)$ вообще имеет место?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение22.10.2021, 21:48 
Заслуженный участник


03/01/09
1508
москва
Padawan в сообщении #1535864 писал(а):
А как доказать, что разложение $\sin x=x+bx^2+cx^3+o(x^3)$ вообще имеет место?

Интегрируем по частям:$$\sin x=\int \limits _0^x\cos tdt=x\cos x+\dfrac {x^2}2\sin x-\dfrac {x^3}6\cos x-\frac 16\int \limits _0^xt^3\sin tdt\eqno (1)$$Так как$\int \limits _0^xt^3\sin tdt=o(x^3), \cos x=1-2\sin ^2\frac x2$, то из (1) получим:$$\sin x=\dfrac {x(1-\frac {x^2}6)(1-\frac {x^2}2)}{1-\frac {x^2}2}+o(x^3)=x-\dfrac {x^3}6+o(x^3)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ассимптотическое разложение функции без Тейлора
Сообщение22.10.2021, 23:25 
Заслуженный участник


09/05/13
8513
mihiv в сообщении #1535954 писал(а):
Интегрируем по частям:

Смущает, однако, следующее: интегрирование по частям традиционно доказывается на основе дифференциального исчисления и после него, а если у нас есть производные - то и формулу Тейлора уже можно доказать, используя именно производные.
То есть то ли это, что хотелось? Не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group