2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос о многочленах
Сообщение16.10.2021, 09:57 


06/01/21
20
Люди добрые, подскажите.

Будем рассматривать многочлены с коэффициентами из $\mathbb{Z}_2$. Например, $f(x)=\bar{1}x^2$. Правильно ли я понимаю, что имеют смысл только $f(\bar{0})$ и $f(\bar{1})$, где $\bar{0}$ и $\bar{1}$ классы вычетов по модулю 2?

Однако наряду с этим, для многочленов с коэффициентами из $\mathbb{Z}$ можно помыслить себе $f(x)$, где $x\notin\mathbb{Z}$, а например $x\in C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о многочленах
Сообщение16.10.2021, 11:04 


07/11/20
44
Обычно, когда говорят о многочлене над некотороым полем (или кольцом), то подразумевают, что и коэффициенты, и значения переменной этого многочлена находятся в этом поле (кольце). Но никто не запрещает рассматривать многочлены с коэффициентами из одного поля и значениями переменной из расширения этого поля (например, многочлен с вещественными коэффициентами и комплексными значениями переменной).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о многочленах
Сообщение16.10.2021, 11:24 


06/01/21
20
bataille в сообщении #1535085 писал(а):
Будем рассматривать многочлены с коэффициентами из $\mathbb{Z}_2$. Например, $f(x)=\bar{1}x^2$.


Но в этом случае $x\in\mathbb{Z}_2$ и только?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о многочленах
Сообщение16.10.2021, 14:04 


07/11/20
44
Ну если вы рассматриваете многочлен, как элемент кольца многочленов над полем $Z_2$, то да. Но Вам никто не запрещает подставлять вместо переменной элементы какого-то надполя, ну там алгебраического замыкания допустим или какого-нибудь ещё. Здесь нету одного правильного ответа, все зависит от Ваших целей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о многочленах
Сообщение21.10.2021, 11:41 


06/01/21
20
kmpl
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о многочленах
Сообщение21.10.2021, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
Чтобы что-то можно было подставить в многочлен, нужно уметь это что-то возводить в степень, умножать на коэффициенты и складывать. В частности, подходит любая алгебра над нашим полем - надполе, линейные операторы на векторном пространстве над этим полем и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о многочленах
Сообщение25.10.2021, 14:16 
Аватара пользователя


17/04/11
656
Ukraine
bataille в сообщении #1535085 писал(а):
Будем рассматривать многочлены с коэффициентами из $\mathbb{Z}_2$. Например, $f(x)=\bar{1}x^2$. Правильно ли я понимаю, что имеют смысл только $f(\bar{0})$ и $f(\bar{1})$, где $\bar{0}$ и $\bar{1}$ классы вычетов по модулю 2?

Однако наряду с этим, для многочленов с коэффициентами из $\mathbb{Z}$ можно помыслить себе $f(x)$, где $x\notin\mathbb{Z}$, а например $x\in C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$.

В последнем случае вы берёте естественную функцию из $\mathbb{Z}$ в $C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$ (не знаю, что означает $x\in C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$), превращаете её (с помощью соответствующего функтора) в функцию из множества всех многочленов с коэффициентами в $\mathbb{Z}$ во множество всех многочленов с коэффициентами в $C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$, и последнюю функцию применяете к $f$, а в результат (многочлен) подставляете $x\in C_{\mathbb{R}}\mathbb{Z}$. Как обычно в математике, все эти преобразования подразумеваются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group