2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нечетность целой части
Сообщение20.10.2021, 08:59 
Аватара пользователя


14/12/17
1215
деревня Инет-Кельманда
Доказать, что $\left[(\sqrt{3})^n\right]$ при любом $n\in N$ нечётно.

$\left[x\right]$ означает целую часть $x$.

(Оффтоп)

Возможно, это простая задача, не олимпиадная, но метода решения в лоб я не знаю, буду признателен, если просветите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение20.10.2021, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1472
МО
$(\sqrt{3})^7 \approx 46,8$
Или я неправильно понимаю, что есть целая часть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение20.10.2021, 10:23 
Аватара пользователя


14/12/17
1215
деревня Инет-Кельманда
Тэкс... Нет, всё правильно.
Изначально задача была $\left[(2+\sqrt{3})^n\right]$ при любом $n\in N$ нечётно, я её "улучшил" :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение20.10.2021, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Там-то просто. Числа Пизо.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.10.2021, 11:34 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24064
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение20.10.2021, 13:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8319
Сначала нужно выписать, чему равна целая часть от $(2+\sqrt{3})^n$. Это действительно легко, ибо, как уже было замечено, число $2+\sqrt{3}$ является числом Пизо (т.е. сопряженное к нему число $2-\sqrt{3}$ меньше 1 по модулю). Затем, когда нужная формула будет написана, достаточно будет посмотреть на нее по "модулю 2". Все станет очевидным. Впрочем, сравнения по идеалу $\langle 2 \rangle$ в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ можно не привлекать (это не совсем элементарно), довольно будет обе степени раскрыть по биному Ньютона. И опять все станет очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение20.10.2021, 14:52 
Аватара пользователя


14/12/17
1215
деревня Инет-Кельманда
Да, только я зачем-то в разложении $(2+\sqrt{3})^n$ отбросил все члены с двойкой, "как не меняющие чётность". Не знаю, что и чем я тогда думал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение20.10.2021, 15:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8319
eugensk в сообщении #1535605 писал(а):
в разложении $(2+\sqrt{3})^n$ отбросил все члены с двойкой, "как не меняющие чётность"
Так это правильно (это и есть вычисление по модулю идеала $\langle 2 \rangle$), только под знаком целой части так делать нельзя. Надо предварительно избавиться от знака целой части. Это не всегда легко, но в данном случае легко: $[(2+\sqrt{3})^n]=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение21.10.2021, 08:42 


02/04/18
111
nnosipov в сообщении #1535611 писал(а):
под знаком целой части так делать нельзя

Почему нельзя? Если к аргументу функции модуля прибавить число, по которому модуль вычисляется, то ответ не изменится. Это верно и для нецелого аргумента.

А вот что принципиально, так это что утверждение "если $mn$ - нечетно, то $m, n$ - оба нечетны" верно для целых чисел, но нельзя говорить то же про $[an]$ и $n, [a]$, где $a$ - дробное, $n$ - целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение21.10.2021, 17:06 
Заслуженный участник


20/12/10
8319
Dendr в сообщении #1535696 писал(а):
Почему нельзя? Если к аргументу функции модуля прибавить число, по которому модуль вычисляется, то ответ не изменится. Это верно и для нецелого аргумента.
Нет, неверно: если $a+b\sqrt{3} \equiv a_1+b_1\sqrt{3} \pmod{m}$, то отсюда, вообще говоря, не следует, что $[a+b\sqrt{3}] \equiv [a_1+b_1\sqrt{3}] \pmod{m}$. Контрпример: $2\sqrt{3} \equiv 0 \pmod{2}$, но $[2\sqrt{3}] \not\equiv 0 \pmod{2}$. Если Вы имели в виду что-то другое, напишите это более формально, иначе непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение21.10.2021, 21:47 


02/04/18
111
Если $ b\ne b_1$, то конечно нельзя. Но если равно?

Говоря формально, я имел в виду, что $a\equiv a+m \mod {m}$ для любого действительного $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение22.10.2021, 08:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8319
Dendr в сообщении #1535809 писал(а):
Говоря формально, я имел в виду, что $a\equiv a+m \mod {m}$ для любого действительного $a$.
Это-то верно, конечно. Но замена $(2+\sqrt{3})^n$ на $(\sqrt{3})^n$ при $n>1$ не сводится просто к добавлению четного целого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение23.10.2021, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7958
Москва
Dendr в сообщении #1535696 писал(а):
Если к аргументу функции модуля прибавить число, по которому модуль вычисляется, то ответ не изменится.


Это верное утверждение, не имеющее отношения к тому, что Вы делаете. Поскольку прибавляется у Вас не 2, а 2 (или вообще что-то чётное), умноженное на $\sqrt 3$. И это произведение имеет право не быть чётным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетность целой части
Сообщение23.10.2021, 21:27 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5533
Интреснее задачка нахождения таких $u$, что $[u^n] \equiv n\pmod{2}$ для всех $n$ - см. topic3291.html
Вопрос о минимальном возможном значении $u$ - открыт.

 i  Перенес обсуждение этой задачи в указанную тему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group