Найти min выражения. (ПВГ)

[maxmatem]

Задача.
Найти минимальное значение выражения
$\sqrt{(x+6^2)+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}$ при условии $2|x|+3|y|=6$

Попытки решения

Ясно, что выражение минимум которого необходимо найти представляет собой ничто иное как сумму расстояний от точки $A(x;y)$ до точек $B(-6;0)$ и $C(0;4)$ при чем точка $A(x;y)$ лежит на четырехугольнике заданным уравнением $2|x|+3|y|=6$.

В принципе понятно, что искомая сумма расстояний будет минимальной если точка $A$ будет лежать на прямой $3y-2x=6$ при условии $x\leqslant 0$ и $y\geqslant 0$ и при этом точка $A$ будет равноудалена от точек $B(-6;0)$ и $C(0;4)$

Но проблема как раз в том, чтобы доказать, что такое положение точки $A$ как раз и выдаст min искомого выражения......

Я пробовал геометрически,но успехов не достиг......

думается может как то через выпуклость функции $y=\sqrt{x}$.... но тоже кроются сомнения...

Вот такие собственно дела. Может кто наведет на мысль.

[Лукомор]

А там точно $6^2$ ?

[EUgeneUS]

maxmatem
эллипс касается прямой, параллельной его большой оси.

[maxmatem]

Ой ой просто 6

-- Вт окт 19, 2021 16:33:03 --

Цитата:

Найти минимальное значение выражения
$\sqrt{(x+6^2)+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}$ при условии $2|x|+3|y|=6$

опечатка

должно быть

Найти минимальное значение выражения
$\sqrt{(x+6)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}$ при условии $2|x|+3|y|=6$

-- Вт окт 19, 2021 16:33:24 --

Лукомор
опечатка

-- Вт окт 19, 2021 16:37:19 --

EUgeneUS
Не очень понял идею…

[EUgeneUS]

maxmatem в сообщении #1535437 писал(а):

Ясно, что выражение минимум которого необходимо найти представляет собой ничто иное как сумму расстояний от точки $A(x;y)$ до точек $B(-6;0)$ и $C(0;4)$

Ясно, при фиксированном значении, это выражении задает эллипс с большой осью, проходящей через точки $B$ и $C$.

Не менее ясно, что прямая $BC$ параллельна вот этой прямой:

maxmatem в сообщении #1535437 писал(а):

точка $A$ будет лежать на прямой $3y-2x=6$

[maxmatem]

EUgeneUS
так с эллипсом понял. буду думать. спс

[мат-ламер]

$A=(B+C)/4$ .

P.S. Хотя сейчас прикинул, что это не так (хотя ошибка и небольшая должна быть). Но можно решать, исходя из физических принципов - угол падения равен углу отражения.

P.P.S. Можно построить прямоугольник, чтобы $BC$ было одной из сторон. А $AC$ - половиной диагонали.

[maxmatem]

мат-ламер это Вы про координаты имеете в виду .?

Интерес как раз в том чтобы найти точку что бы она давала минимальную сумму растояний до точек В и С .
Я вот в указаниях к задаче прочитал , что можно доказать что точка А равноудалённая от В и С будет искомой , через выпуклость функции $\sqrt{x}$
Но я как то пока не допер до этого

[мат-ламер]

maxmatem в сообщении #1535462 писал(а):

то Вы про координаты имеете в виду .?

На начало моего предыдущего поста не обращайте внимание. Я решал через построение прямоугольника, как описано в пункте PPS. Задача свелась к нахождению уравнения прямых, проходящих через некоторые точки и нахождению точки пересечения двух прямых. Наверное всё в рамках школьной программы (ведь в заголовке ПВГ).

Наверное можно и посложнее решать.

[zykov]

Одну из точек $B(-6;0)$ или $C(0;4)$ отразить относительно прямой проходящей через точки $(-3;0)$ и $(0;2)$ и найти расстояние от образа до второй точки.

[maxmatem]

zykov
Ваша идея почти совпадает с авторской

Но меня все ещё мучает вопрос с выпуклостью ))) ну как она поможет …

[zykov]

Какая выпуклость?
Сумма расстояний $BA+AC$ такая же как $BA+AC'$. А кратчяйшее расстояние - по прямой (от $B$ до $C'$).

[мат-ламер]

maxmatem в сообщении #1535477 писал(а):

Но меня все ещё мучает вопрос с выпуклостью ))) ну как она поможет …

Она поможет установить, что точка минимума существует. Чуть усилив это свойство, сможем доказать, что точка минимума единственна. Но нам же надо найти конкретный минимум. Если вопрос мучает, можете привлечь производные или даже множители Лагранжа. Интересно будет сравнить результаты.

В курсе оптимального управление мехмата (см. учебник Тихомирова и др.) в самом начале показывается, как физический принцип отражения от зеркала (угол падения равен углу отражения) можно обосновать с помощью анализа. Но его можно обосновать чисто геометрически, построив мнимое изображение одной из точек по другую сторону зеркала. (Правда, тут надо знать, что геодезическая линия на плоскости, это прямая. Это можно обосновать методами вариационного исчисления. А можно просто принять на веру. )

Так что тут дело вкуса, как решать, геометрически или средствами анализа. Но, поскольку олимпиада школьная, естественно решать геометрически, применяя симметрию или (и) физику. Это и проще будет.

-- Вт окт 19, 2021 20:04:31 --

мат-ламер в сообщении #1535465 писал(а):

Задача свелась к нахождению уравнения прямых, проходящих через некоторые точки и нахождению точки пересечения двух прямых.

В принципе задача сводится к нахождению длины диагонали некоего прямоугольника, о котором я писал.

-- Вт окт 19, 2021 20:12:14 --

zykov в сообщении #1535478 писал(а):

Какая выпуклость?

Выражение из первого поста есть функция от двух переменных. И она выпукла. Ограничение этой функции на прямую тоже выпуклая функция.

[maxmatem]

мат-ламер
Спасибо за совет по выпуклости. Вот про физический смысл и не подумал. буду анализировать