2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Касание m-го порядка
Сообщение25.09.2021, 09:44 


08/12/17
243
Есть следующее определение:
отображения гладких многообразий $f_1,f_2:M\to N$ называются m-касающимися в точке $x$ из $M$, если $r_N(f_1(y),f_2(y))=o(r^m_M(x,y))$ при $y\to x$, где $r_N,r_M$ - римановы метрики.
Надо доказать, что это свойство на зависит от выбора метрик на многообразиях.
Не знаю, как связать разные метрики.
$ds^2=r_{ij}(x^1,...,x^n)dx^idx^j$
Есть формулы для перехода при смене координат в одной и той же метрике. Но для разных метрик не знаю как быть. Может кто помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касание m-го порядка
Сообщение25.09.2021, 11:53 
Заслуженный участник


14/10/14
991
Пусть $M, N$ -- гладкие многообразия.
Определение. Кривые (гладкие отображения) $a,b:\mathbb R\to M$ имеют касание порядка $r$ в $0$, если для любой $f\in C^\infty M$ функция $f\circ a-f\circ b:\mathbb R\to\mathbb R$ равна $0$ в $0$ вместе с первыми $r$ производными.
Определение. Гладкие отображения $f,g\in C^\infty(M,N)$ имеют касание порядка $r$ в точке $x\in M$, если для любой кривой $a:\mathbb R\to M$, $a(0)=x$ кривые $f\circ a$ и $g\circ a$ имеют касание порядка $r$ в $0$.

Докажите, что ваше определение эквивалентно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касание m-го порядка
Сообщение25.09.2021, 22:45 


08/12/17
243
Какой-то затуп.
$f\circ a, g\circ a\subset N$. $f\circ a(0)=f(x),g\circ a(0)=g(x)$
Далее, можем какую-то функцию на них взять.
В голову приходит лишь координатная $X^i$, которая точке из $N$ даёт её координату в выбранной системе координат.
$X^i(f\circ a(0))-X^i(g\circ a(0))$ равна $0$ в $0$ вместе с первыми $r$ производными.
Теперь, наверное, можно взять какую-то близкую точку $y$ на кривой $a$.
И навесить метрику $r(f(y),g(y))$. Но дальше не пойму

 Профиль  
                  
 
 Re: Касание m-го порядка
Сообщение26.09.2021, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
923
матмех спбгу
MChagall в сообщении #1532660 писал(а):
Может кто помочь?

Все метрики локально липшицево эквивалентны. Возьмите карту в окрестности точки $x$ и чуть поменьше шаровую окрестностью в ней и докажите, что евклидова метрика липшицево эквивалентна исходной.

Вообще-то это обстоятельство важно при построении метрики на многообразии и, если Вы уж пользуетесь метрикой, то оно должно уже быть доказано. А тогда утверждение задачи очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касание m-го порядка
Сообщение17.10.2021, 13:04 


08/12/17
243
К сожалению, пришлось отвлечься от задачи.
demolishka в сообщении #1532825 писал(а):
если Вы уж пользуетесь метрикой, то оно должно уже быть доказано

У меня этого не было. У самого не слишком получается в некоторых моментах. Не мог ли бы подсказать, где про это можно почитать, сам не нашёл почему-то

 Профиль  
                  
 
 Re: Касание m-го порядка
Сообщение17.10.2021, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
923
матмех спбгу
MChagall в сообщении #1535220 писал(а):
где про это можно почитать

Наверное любой учебник по римановой геометрии. Вот взял первый попавшийся: Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. Страницы 32-33.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group