2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Задали мне тут вопрос, на который у меня хорошего ответа нет (впрочем, и вопрос не очень отчетливый).
Исходный вопрос:
"Такой вопрос - существует ли такая наука, как теория вероятности на расслоенных пространствах? Или теория вероятности на группе?

Имеется в виду, что обычно в теории вероятности требуется считать какие-то интегралы (например, по всему пространству). А если у нас пространство является расслоением или групповым, то необходимо правильно учитывать меру и всё такое прочее. Вопрос в том, как такое построить? "

Я его понял как примерно такой вопрос. Пусть у нас есть, допустим, компактная топологическая группа. На ней есть мера Хаара. Достаточно ли существования такой меры, что бы корректно определить вероятностную меру? И вообще, как должна быть определена мера на многообразии, что бы из нее можно было бы соорудить вероятностную меру. Я в математической теории вероятностей полный профан, скорее всего, это где-то написано, но где я не знаю, и спросившего отправить читать нужную книжку не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17748
Москва
Собственно, в теории вероятностей множество элементарных исходов $\Omega$ может быть любым. Есть там какие-то структуры или нет — не очень существенно. Далее выделяются $\sigma$-алгебра событий $\mathfrak F$, которые являются подмножествами $\Omega$, и $\sigma$-аддитивная мера на этой $\sigma$-алгебре; эта мера и называется вероятностью. Единственное дополнительное условие по сравнению с теорией меры — $\mathbf P(\Omega)=1$.

Если даже на множестве $\Omega$ есть какая-то своя мера, она не обязана использоваться для вычисления вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1406
Москва
Если мера всего пространства конечна, можно на нее нормировать, и будет вероятность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3161
alisa-lebovski в сообщении #1535094 писал(а):
Если мера всего пространства конечна

Если я правильно понимаю, то это всегда так для меры Хаара на компактной группе (которая, при этом, существует и единственна (с точностью до константы)). То есть мера Хаара уже даёт всё что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Someone в сообщении #1535092 писал(а):
Собственно, в теории вероятностей множество элементарных исходов $\Omega$ может быть любым. Есть там какие-то структуры или нет — не очень существенно.
Для теории вероятностей это чистая правда. Тут дело в том, я вопрос плохо задал, но в детали не хочется вдаваться. Есть у нас, допустим, квантовая механика. Там задана какая-то мера в Гильбертовом пространстве. Она же должна быть и вероятностной мерой. Исходный вопрос был о том, всегда ли эти меры согласованы.
alisa-lebovski в сообщении #1535094 писал(а):
Если мера всего пространства конечна, можно на нее нормировать, и будет вероятность.
Спасибо! Это, видимо, ответ. Если конечна, то и проблемы нет, если бесконечна, то пытаться сделать из нее конечную. Обсужу с вопрошавшим, и если возникнут вопросы - продолжу приставать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group