Вероятности на хитрых пространствах

[amon]

Задали мне тут вопрос, на который у меня хорошего ответа нет (впрочем, и вопрос не очень отчетливый).
Исходный вопрос:
"Такой вопрос - существует ли такая наука, как теория вероятности на расслоенных пространствах? Или теория вероятности на группе?

Имеется в виду, что обычно в теории вероятности требуется считать какие-то интегралы (например, по всему пространству). А если у нас пространство является расслоением или групповым, то необходимо правильно учитывать меру и всё такое прочее. Вопрос в том, как такое построить? "

Я его понял как примерно такой вопрос. Пусть у нас есть, допустим, компактная топологическая группа. На ней есть мера Хаара. Достаточно ли существования такой меры, что бы корректно определить вероятностную меру? И вообще, как должна быть определена мера на многообразии, что бы из нее можно было бы соорудить вероятностную меру. Я в математической теории вероятностей полный профан, скорее всего, это где-то написано, но где я не знаю, и спросившего отправить читать нужную книжку не могу.

[Someone]

Собственно, в теории вероятностей множество элементарных исходов $\Omega$ может быть любым. Есть там какие-то структуры или нет — не очень существенно. Далее выделяются $\sigma$-алгебра событий $\mathfrak F$, которые являются подмножествами $\Omega$, и $\sigma$-аддитивная мера на этой $\sigma$-алгебре; эта мера и называется вероятностью. Единственное дополнительное условие по сравнению с теорией меры — $\mathbf P(\Omega)=1$.

Если даже на множестве $\Omega$ есть какая-то своя мера, она не обязана использоваться для вычисления вероятностей.

[alisa-lebovski]

Если мера всего пространства конечна, можно на нее нормировать, и будет вероятность.

[Geen]

alisa-lebovski в сообщении #1535094 писал(а):

Если мера всего пространства конечна

Если я правильно понимаю, то это всегда так для меры Хаара на компактной группе (которая, при этом, существует и единственна (с точностью до константы)). То есть мера Хаара уже даёт всё что нужно.

[amon]

Someone в сообщении #1535092 писал(а):

Собственно, в теории вероятностей множество элементарных исходов $\Omega$ может быть любым. Есть там какие-то структуры или нет — не очень существенно.

Для теории вероятностей это чистая правда. Тут дело в том, я вопрос плохо задал, но в детали не хочется вдаваться. Есть у нас, допустим, квантовая механика. Там задана какая-то мера в Гильбертовом пространстве. Она же должна быть и вероятностной мерой. Исходный вопрос был о том, всегда ли эти меры согласованы.

alisa-lebovski в сообщении #1535094 писал(а):

Если мера всего пространства конечна, можно на нее нормировать, и будет вероятность.

Спасибо! Это, видимо, ответ. Если конечна, то и проблемы нет, если бесконечна, то пытаться сделать из нее конечную. Обсужу с вопрошавшим, и если возникнут вопросы - продолжу приставать.