2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4598
ФТИ им. Иоффе СПб
Задали мне тут вопрос, на который у меня хорошего ответа нет (впрочем, и вопрос не очень отчетливый).
Исходный вопрос:
"Такой вопрос - существует ли такая наука, как теория вероятности на расслоенных пространствах? Или теория вероятности на группе?

Имеется в виду, что обычно в теории вероятности требуется считать какие-то интегралы (например, по всему пространству). А если у нас пространство является расслоением или групповым, то необходимо правильно учитывать меру и всё такое прочее. Вопрос в том, как такое построить? "

Я его понял как примерно такой вопрос. Пусть у нас есть, допустим, компактная топологическая группа. На ней есть мера Хаара. Достаточно ли существования такой меры, что бы корректно определить вероятностную меру? И вообще, как должна быть определена мера на многообразии, что бы из нее можно было бы соорудить вероятностную меру. Я в математической теории вероятностей полный профан, скорее всего, это где-то написано, но где я не знаю, и спросившего отправить читать нужную книжку не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17971
Москва
Собственно, в теории вероятностей множество элементарных исходов $\Omega$ может быть любым. Есть там какие-то структуры или нет — не очень существенно. Далее выделяются $\sigma$-алгебра событий $\mathfrak F$, которые являются подмножествами $\Omega$, и $\sigma$-аддитивная мера на этой $\sigma$-алгебре; эта мера и называется вероятностью. Единственное дополнительное условие по сравнению с теорией меры — $\mathbf P(\Omega)=1$.

Если даже на множестве $\Omega$ есть какая-то своя мера, она не обязана использоваться для вычисления вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1536
Москва
Если мера всего пространства конечна, можно на нее нормировать, и будет вероятность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3284
alisa-lebovski в сообщении #1535094 писал(а):
Если мера всего пространства конечна

Если я правильно понимаю, то это всегда так для меры Хаара на компактной группе (которая, при этом, существует и единственна (с точностью до константы)). То есть мера Хаара уже даёт всё что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности на хитрых пространствах
Сообщение16.10.2021, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4598
ФТИ им. Иоффе СПб
Someone в сообщении #1535092 писал(а):
Собственно, в теории вероятностей множество элементарных исходов $\Omega$ может быть любым. Есть там какие-то структуры или нет — не очень существенно.
Для теории вероятностей это чистая правда. Тут дело в том, я вопрос плохо задал, но в детали не хочется вдаваться. Есть у нас, допустим, квантовая механика. Там задана какая-то мера в Гильбертовом пространстве. Она же должна быть и вероятностной мерой. Исходный вопрос был о том, всегда ли эти меры согласованы.
alisa-lebovski в сообщении #1535094 писал(а):
Если мера всего пространства конечна, можно на нее нормировать, и будет вероятность.
Спасибо! Это, видимо, ответ. Если конечна, то и проблемы нет, если бесконечна, то пытаться сделать из нее конечную. Обсужу с вопрошавшим, и если возникнут вопросы - продолжу приставать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Schrodinger's cat, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group