2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выбор без возвращения
Сообщение14.10.2021, 11:05 


30/04/21
7
Из совокупности всех подмножеств множества $\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$ по схеме выбора без возвращения последовательно выбираются два множества $A_1$ и $A_2$. Найти вероятность того, что $A_1\cup A_2=\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$.

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться.

P.S. Есть аналогичная задача, только выбор с возвращением и нужно найти вероятность того, что множества $A_1$ и $A_2$ не пересекаются. Ее принцип решения мне понятен, а вот здесь затрудняюсь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение14.10.2021, 13:27 
Заслуженный участник


30/01/09
5116
mclord в сообщении #1534901 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться.

Интересно проследить за судьбой какого-нибудь конкретного элемента исходного множества. Какова вероятность, что он попадёт в первое множество, во второе, в оба, ни в одно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 12:01 
Заслуженный участник


03/01/09
1525
москва
Можно найти число благоприятных выборов множества $A_2$ при определенном выборе множества $A_1$.
Например, если в качестве $A_1$ выбрано пустое множество, то в качестве $A_2$ годится лишь $\lbrace 1,\dots ,N\rbrace $.
Если же $A_1$ это $\lbrace 1,\dots ,N\rbrace $, то в качестве $A_2$ можно выбрать любое из оставшихся $2^N-1$ подмножеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 13:13 
Заслуженный участник


30/01/09
5116
mclord в сообщении #1534901 писал(а):
Из совокупности всех подмножеств множества $\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$ по схеме выбора без возвращения последовательно выбираются два множества $A_1$ и $A_2$.

Вообще неплохо бы для начала прояснить, что вообще это значит?

-- Пт окт 15, 2021 14:37:24 --

mclord в сообщении #1534901 писал(а):
Есть аналогичная задача, только выбор с возвращением

Если эта задача понятна, то надо решить сначала тоже для выбора с возвращением, но с таким условием:
mclord в сообщении #1534901 писал(а):
Найти вероятность того, что $A_1\cup A_2=\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$

Затем уже недалеко остаётся до выбора без возвращения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 13:51 
Аватара пользователя


06/04/21
128
Без возвращения задача даже упрощается. Подошли 2 рядовых к полковому котлу и хлебают из него черпаками. Проблема только, как в задаче оговорена их остановка. Иначе они не остановятся до $P=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 17:11 


07/03/20
26
1)Всех подмножеств множества {1,2,...,N} $=2^N$;
2)Вероятность выбрать какого то конкретное подмножества $p_1=\frac{1}{2^N}$;
3)Вероятность выбрать какого то конкретное подмножества из остальных подмножеств $p_2=\frac{1}{2^N - 1}$;
4) Для каждого подмножества есть одно конкретное дополнение до множества {1,2,...,N} - тогда все такие двойки будут $=2^N$;
5) Выходить, что искоммая вероятность $p=2^N\cdot p_1\cdot p_2=2^N\cdot \frac{1}{2^N}\cdot \frac{1}{2^N - 1}=\frac{1}{2^N - 1}$;

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 17:19 
Аватара пользователя


06/04/21
128
Ksanty в сообщении #1535040 писал(а):
1)Всех подмножеств множества {1,2,...,N} $=2^N$

Чувствуется загрузка задачником Кембриджского университета.
А теперь попробуйте это проиграть при $N=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 18:28 


07/03/20
26
tonven в сообщении #1535043 писал(а):
А теперь попробуйте это проиграть при $N=1$

Что же, попробуем : $p=\frac{1}{2^1-1}=\frac{1}{2-1}=1$ - другого и не может быть, если мы не возвращаем то что выбрали, так как, все подмножества множества $\left\lbrace1\right\rbrace$ - это $\varnothing,\left\lbrace 1 \right\rbrace$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 19:23 
Заслуженный участник


03/01/09
1525
москва
Ksanty в сообщении #1535040 писал(а):
4) Для каждого подмножества есть одно конкретное дополнение до множества {1,2,...,N} - тогда все такие двойки будут $=2^N$;

Подмножества $A_1,A_2$ могут иметь непустое пересечение. Например, в случае $N=3: \lbrace 1,2\rbrace \bigcup \lbrace 2,3\rbrace =\lbrace 1,2,3\rbrace$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор без возвращения
Сообщение15.10.2021, 23:18 


07/03/20
26
mihiv в сообщении #1535050 писал(а):
Подмножества $A_1,A_2$ могут иметь непустое пересечение. Например, в случае $N=3: \lbrace 1,2\rbrace \bigcup \lbrace 2,3\rbrace =\lbrace 1,2,3\rbrace$

Ну да Ваша заметка основательная! Кажется вероятность зависит от того какое подмножество $A_1$, было выбрано первое и точнее от число его элементов.
Сколько больше элементов у подмножество $A_1$, столько большая вероятность после выбора $A_2$ , $A_1 \cup A_2$=$\left\lbrace 1,2,\cdot\cdot\cdot,N\right\rbrace$
Так если $A_1 =\left\lbrace 1,2,\cdot\cdot\cdot,N\right\rbrace$, то $p=1$, какого и было быть $A_2$. Надо подумать как это связать $p$ с число элементов $A_1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: alusov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group