Выбор без возвращения

[mclord]

Из совокупности всех подмножеств множества $\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$ по схеме выбора без возвращения последовательно выбираются два множества $A_1$ и $A_2$. Найти вероятность того, что $A_1\cup A_2=\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$.

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться.

P.S. Есть аналогичная задача, только выбор с возвращением и нужно найти вероятность того, что множества $A_1$ и $A_2$ не пересекаются. Ее принцип решения мне понятен, а вот здесь затрудняюсь...

[мат-ламер]

mclord в сообщении #1534901 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться.

Интересно проследить за судьбой какого-нибудь конкретного элемента исходного множества. Какова вероятность, что он попадёт в первое множество, во второе, в оба, ни в одно?

[mihiv]

Можно найти число благоприятных выборов множества $A_2$ при определенном выборе множества $A_1$.
Например, если в качестве $A_1$ выбрано пустое множество, то в качестве $A_2$ годится лишь $\lbrace 1,\dots ,N\rbrace $.
Если же $A_1$ это $\lbrace 1,\dots ,N\rbrace $, то в качестве $A_2$ можно выбрать любое из оставшихся $2^N-1$ подмножеств.

[мат-ламер]

mclord в сообщении #1534901 писал(а):

Из совокупности всех подмножеств множества $\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$ по схеме выбора без возвращения последовательно выбираются два множества $A_1$ и $A_2$.

Вообще неплохо бы для начала прояснить, что вообще это значит?

-- Пт окт 15, 2021 14:37:24 --

mclord в сообщении #1534901 писал(а):

Есть аналогичная задача, только выбор с возвращением

Если эта задача понятна, то надо решить сначала тоже для выбора с возвращением, но с таким условием:

mclord в сообщении #1534901 писал(а):

Найти вероятность того, что $A_1\cup A_2=\left\lbrace1,...,N\right\rbrace$

Затем уже недалеко остаётся до выбора без возвращения.

[tonven]

Без возвращения задача даже упрощается. Подошли 2 рядовых к полковому котлу и хлебают из него черпаками. Проблема только, как в задаче оговорена их остановка. Иначе они не остановятся до $P=1$.

[Ksanty]

1)Всех подмножеств множества {1,2,...,N} $=2^N$;
2)Вероятность выбрать какого то конкретное подмножества $p_1=\frac{1}{2^N}$;
3)Вероятность выбрать какого то конкретное подмножества из остальных подмножеств $p_2=\frac{1}{2^N - 1}$;
4) Для каждого подмножества есть одно конкретное дополнение до множества {1,2,...,N} - тогда все такие двойки будут $=2^N$;
5) Выходить, что искоммая вероятность $p=2^N\cdot p_1\cdot p_2=2^N\cdot \frac{1}{2^N}\cdot \frac{1}{2^N - 1}=\frac{1}{2^N - 1}$;

[tonven]

Ksanty в сообщении #1535040 писал(а):

1)Всех подмножеств множества {1,2,...,N} $=2^N$

Чувствуется загрузка задачником Кембриджского университета.
А теперь попробуйте это проиграть при $N=1$

[Ksanty]

tonven в сообщении #1535043 писал(а):

А теперь попробуйте это проиграть при $N=1$

Что же, попробуем : $p=\frac{1}{2^1-1}=\frac{1}{2-1}=1$ - другого и не может быть, если мы не возвращаем то что выбрали, так как, все подмножества множества $\left\lbrace1\right\rbrace$ - это $\varnothing,\left\lbrace 1 \right\rbrace$.

[mihiv]

Ksanty в сообщении #1535040 писал(а):

4) Для каждого подмножества есть одно конкретное дополнение до множества {1,2,...,N} - тогда все такие двойки будут $=2^N$;

Подмножества $A_1,A_2$ могут иметь непустое пересечение. Например, в случае $N=3: \lbrace 1,2\rbrace \bigcup \lbrace 2,3\rbrace =\lbrace 1,2,3\rbrace$

[Ksanty]

mihiv в сообщении #1535050 писал(а):

Подмножества $A_1,A_2$ могут иметь непустое пересечение. Например, в случае $N=3: \lbrace 1,2\rbrace \bigcup \lbrace 2,3\rbrace =\lbrace 1,2,3\rbrace$

Ну да Ваша заметка основательная! Кажется вероятность зависит от того какое подмножество $A_1$, было выбрано первое и точнее от число его элементов.
Сколько больше элементов у подмножество $A_1$, столько большая вероятность после выбора $A_2$ , $A_1 \cup A_2$=$\left\lbrace 1,2,\cdot\cdot\cdot,N\right\rbrace$
Так если $A_1 =\left\lbrace 1,2,\cdot\cdot\cdot,N\right\rbrace$, то $p=1$, какого и было быть $A_2$. Надо подумать как это связать $p$ с число элементов $A_1$.