Задача по мат. анализу (найти работу упругой силы...)

[questioner]

Добрый вечер!

Столкнулся с одной не очень сложной задачей по мат. анализу, решая которую получаю неверный ответ. Может быть подскажете в чём я не прав.

Условие:
Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалению материальной точки от начала координат, если эта точка описывает в направлении, противоположному ходу часовой стрелки, положительную четверть эллипса:
$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$.

Моё решение:
Величина силы $F = k \sqrt{x^2 + y^2}$. Параметризую эллипс: $x = a \cos t, y = b \sin t$. Тогда величина силы будет $F = k \sqrt{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}$. Проекции на оси $x$ и $y$ соотвественно: $F_x = F \cos t, F_y = F \sin t$. Из начальных условий следует что $t$ проходит от $0$ до $\pi/2$. То есть решение записывается в виде $\int_0^{\pi/2} F \cos t x'(t) + F \sin t y'(t) dt$ . Но после интегрирования
выходит неверный ответ.

[shwedka]

Ошибки так не видать, но эту задачу можно решить безо всякого интегрирования.
Ваша сила потенциальная, она равна $ {\rm{grad}} F(x,y)$, где потенциал равен $F(x,y)=-\frac{k}2 (x^2+y^2)$ (коэффициент k положителен, чтобы отразить, что сила смотрит в центр). Dля потенциальных сил работа не зависит от пути между точками, а лишь от точек, при этом равна разности между значениями потенциала в начале и в конце
Поэтому работа, которую Вы ищете, равна $k(b^2-a^2)/2$

[незваный гость]

questioner писал(а):

...Проекции на оси x и y соотвественно: F_x = F \cos t, F_y = F \sin t....

Угол $t$ в параметризации не равен углу точки. Соответственно, проекции силы подсчитаны неправильно. Правильно $(-k x, -k y) = $ $(-k a \cos t, -k b \sin t) $.

[Руст]

questioner писал(а):

Добрый вечер!
Проекции на оси x и y соотвественно: F_x = F \cos t, F_y = F \sin t.

Ошибка в том, что проекции вычислены неверно (t не является углом наклона, просто удобным параметром).