Умножение вероятностей

[Ёж]

Студент держит экзамен, состоящий в установлении истинности или ложности пяти утверждений. Какова вероятность правильного ответа на все вопросы, если студент:
1) просто угадывает ответ;
2) знает, что преподаватель всегда дает больше истинных утверждений, чем ложных;
3) знает, что преподаватель никогда не дает подряд трех вопросов, требующих одинакового ответа;
4) знает, что, кроме того, ответы на первый и последний вопросы противоположны;
5) знает еще, что «ложно» — ответ на второй вопрос?

Пусть $A_i=\{\text{студент правильно ответил на } i-\text{й вопрос} \}, где $ $i=1,2,3,4,5$.

1) $P(A_i)=\frac{1}{2}$, где $i=1,2,3,4,5$. Тогда

$P(A_1 A_2 A_3 A_4 A_5)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)P(A_5)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$.

4) $P(A_i)=\frac{1}{2}$, где $i=1,2,3,4$, $P(A_5)=1$. Тогда

$P(A_1 A_2 A_3 A_4 A_5)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)P(A_5)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{16}$.

5) $P(A_i)=\frac{1}{2}$, где $i=1,3,4,5$, $P(A_2)=1$. Тогда

$P(A_1 A_2 A_3 A_4 A_5)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)P(A_5)=\frac{1}{2}\cdot1 \cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$.

Подскажите, пожалуйста, правильно ли решены 1) 4) 5) задачи и как решить 2) и 3) ?

[tonven]

Ответы на вопросы экзамена не оценка вероятности падения конкретной стороной монеты. Любой вопрос поста не имеет смысла ввиду неопределённости стартовых условий.

[iifat]

5 — «знает ещё». То бишь, он включает 4, не? Вы это, по-моему, забыли.

[tonven]

iifat
Рассмотрим 1-й вопрос. Какова вероятность угадывания правильного ответа на вопрос: Сколько будет 2Х2?

[zykov]

По условию задачи - 50 на 50.

[tonven]

zykov в сообщении #1534824 писал(а):

По условию задачи - 50 на 50.

Ну коли так, то попробую обозначить общий ход решения.
2-й вопрос подразумевает, что на все вопросы следует отвечать "Да". Всего имеется $2^5$=32 вариантов ответа.
Выбираем из них все, где положительных больше двух. Отношение единственного - все верные - к этому числу и будет ответом на вопрос 2.
На вопрос 3 такая же схема.

[Ёж]

Эта задача из учебного пособия
Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики
из параграфа "Условные вероятности, формула полной вероятности, теорема Байеса"

[tonven]

Ответ в задаче остался прежним. Только моё

tonven в сообщении #1534828 писал(а):

2-й вопрос подразумевает, что на все вопросы следует отвечать "Да".

излишне. Дело в том, что по условию задачи требуется

Ёж в сообщении #1534815 писал(а):

правильный ответ на все вопросы

А это означает, что отвечать можно любым из вариантов, лишь бы ответов "Да" было больше чем "Нет". Вероятность сдачи экзамена остаётся прежней.

(Оффтоп)

Вообще, в задачах с подобной формулировкой вероятностями лучше не заморачиваться. Это ж вариация парадокса Монти-Холла. У того сам ведущий открывает дверь с козой, а у Виленкина информация о предпочтениях преподавателя уменьшает число возможных вариантов ответа. И вероятность сдачи экзамена всегда $\frac{1}{N}$, где $N$ - число ответов.

[artempalkin]

Получается, логика такая: студент заранее выбирает набор ответов, ориентируясь на то, что он знает о "предпочтениях" преподавателя.

(Оффтоп)

А если считать, что студент случайно выбирает набор ответов, а у преподавателя случайно распределены вопросы с их ответами (но все соответствует извращенным предпочтениям преподавателя), то можно даже посчитать матожидание числа правильных ответов :)