2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 06:47 


29/12/09
321
Привет, всем!

Можно ли найти решения такого уравнения аналитически?

$\sin(Nx)=a\sin(x)$
$x\in[0,\pi]$
Где параметры $N$ и $a$ фиксируется, но потом чтобы их можно было бы варьировать примерно около таких значений
$N\approx100$
$a=(0,10)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
8366
Москва
Ну, если заменить $y=\sin(x)$, то уравнение можно превратить в алгебраическое, степени не ниже N, а для таких, говорят, не бывает решения в радикалах (на самом деле там ещё и косинусы появятся, в виде $\cos(x)=\sqrt{1-y^2}$, так что, наверно, ещё больше степени).
А численно решать можно. Учитывая, что $\sin(x)\approx x$ для малых x, а если a близко к верхней границе, то x должен быть мал, наверно, надо перебирать разные k в $Nx=2\pi k+z$, и решать $\sin(z)=\sin(\frac{2\pi k} N+z)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 10:46 
Заслуженный участник


20/12/10
8852
Евгений Машеров в сообщении #1534895 писал(а):
Ну, если заменить $y=\sin(x)$, то уравнение можно превратить в алгебраическое, степени не ниже N
Лучше сделать замену $y=\cos{x}$. Тогда получится уравнение $U_{N-1}(y)=a$, где слева --- классический многочлен Чебышева 2-го рода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
8366
Москва
Ну, в любом случае решать в радикалах уравнение сотой степени вряд ли стоит.
$U_{N-1}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}N\theta {\big )}}{\sin \theta }}=a$
Хотя можно и тов. Ньютоном...

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 13:39 


05/09/16
9786
alexey007
При $N=90;a=8,2$ имеется $9$ корней в промежутке $x \in [0;\pi]$
При $N=90;a=8,3$ корней уже только $7$
При $N=90$ и каком-то одном $8,2<a<8,3$ корней соответственно $8$.
Так что, "аналитически" тут вряд ли чего хорошего будет, кроме ессно $x=0; \pi$ при целых $N$

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли найти решения аналитически
Сообщение14.10.2021, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
8366
Москва
В силу наличия большого числа корней надо, видимо, указать приближённое значение, и затем его уточнять, скажем, Ньютоном.
$x_{n+1}=\frac {\sin(Nx_n)-a\sin(x_n)}{N\cos(Nx_n)-a\cos(x_n)}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group