Можно ли найти решения аналитически

[alexey007]

Привет, всем!

Можно ли найти решения такого уравнения аналитически?

$\sin(Nx)=a\sin(x)$
$x\in[0,\pi]$
Где параметры $N$ и $a$ фиксируется, но потом чтобы их можно было бы варьировать примерно около таких значений
$N\approx100$
$a=(0,10)$

[Евгений Машеров]

Ну, если заменить $y=\sin(x)$, то уравнение можно превратить в алгебраическое, степени не ниже N, а для таких, говорят, не бывает решения в радикалах (на самом деле там ещё и косинусы появятся, в виде $\cos(x)=\sqrt{1-y^2}$, так что, наверно, ещё больше степени).
А численно решать можно. Учитывая, что $\sin(x)\approx x$ для малых x, а если a близко к верхней границе, то x должен быть мал, наверно, надо перебирать разные k в $Nx=2\pi k+z$, и решать $\sin(z)=\sin(\frac{2\pi k} N+z)$.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1534895 писал(а):

Ну, если заменить $y=\sin(x)$, то уравнение можно превратить в алгебраическое, степени не ниже N

Лучше сделать замену $y=\cos{x}$. Тогда получится уравнение $U_{N-1}(y)=a$, где слева --- классический многочлен Чебышева 2-го рода.

[Евгений Машеров]

Ну, в любом случае решать в радикалах уравнение сотой степени вряд ли стоит.
$U_{N-1}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}N\theta {\big )}}{\sin \theta }}=a$
Хотя можно и тов. Ньютоном...

[wrest]

alexey007
При $N=90;a=8,2$ имеется $9$ корней в промежутке $x \in [0;\pi]$
При $N=90;a=8,3$ корней уже только $7$
При $N=90$ и каком-то одном $8,2<a<8,3$ корней соответственно $8$.
Так что, "аналитически" тут вряд ли чего хорошего будет, кроме ессно $x=0; \pi$ при целых $N$

[Евгений Машеров]

В силу наличия большого числа корней надо, видимо, указать приближённое значение, и затем его уточнять, скажем, Ньютоном.
$x_{n+1}=\frac {\sin(Nx_n)-a\sin(x_n)}{N\cos(Nx_n)-a\cos(x_n)}$