Рекуррентное соотношение

[Sakura]

GAA, а как правильно записать частное решение неоднородного уравнения? Что будет вместо W_n, когда письменно оформляю?

Далее: подставляем в полученное общее решение W_n = C_1 * 3^n + C_2 * 1^n - n * 3^n неоднородного уравнения n=1 и n=2 и решаем систему уравнений:

\{W_0 = C_1 * 3^0 + C_2 * 1^0 - 0 * 3^0; \\ W_1 = C_1 * 3^1 + C_2 * 1^1 - 1 * 3^1

Находим C_1 = -1/3 и C_2 = 5,

Подставляем С_1 и С_2 в общее решение неоднородного уравнения, получаем:

W_n = -1/3 * 3^n + 5 * 1^n - n * 3^n

Это оконченное решение задачи?

Добавлено спустя 29 минут 38 секунд:

worm2, да, действительно. Что-то из Вашего объяснения я хорошо поняла, а что-то не очень, наверно потому что только-только начала изучать дискретную математику. На интуитивном уровне чувствую, что все, что Вы объясняли - это что-то простое, просто я еще не со всеми понятиями и терминами знакома. Как раз сейчас про множества (Вы оперировали ими в одном из объяснений) задачу буду разбирать и, соответственно, учить теорию. Значит не раз еще обращусь к спецам

[GAA]

Sakura писал(а):

GAA, а как правильно записать частное решение неоднородного уравнения? Что будет вместо W_n, когда письменно оформляю?

Общепринятых обозначений нет. См. конспект лекций или метод. указания. Если не найдете просто укажите, что, например, $b_n$ является частным решением неоднородного уравнения и дальше используйте это обозначение. Собственно, как и предлагали Вам делать в этой теме.

Sakura писал(а):

W_n = -1/3 * 3^n + 5 * 1^n - n * 3^n
Это оконченное решение задачи?

Да.

[Sakura]

GAA, я еще раз Вас потревожу по поводу пункта, когда мы находим частное решение неоднородного р.с. вида b_n = \alpha n^m d^n

Правильно ли я понимаю, что d - это один из корней, найденный ранее? Если это один из корней, то почему берем 3, а не 1?
И верно ли, что вид для частного решения b_n = \alpha n^m d^n всегда один и тот же? (т.е. заданная формула, которую надо выучить и применять)?

Объясните, пожалуйста про этот пункт подробнее (хотелось бы осмысленно решать подобные задачи).

[GAA]

Sakura писал(а):

Правильно ли я понимаю, что d - это один из корней, найденный ранее?

Нет.

ранее в этой теме GAA писал(а):

В данном случае мы имеем уравнение со специальной правой частью $B d^n$, где $B$ некоторая константа.

Т.е. $B d^n$ — это то, что задано по условию (правая часть исходного рекуррентного соотношения). В Вашем случае $-2\cdot 3^{n+1}$.

Sakura писал(а):

И верно ли, что вид для частного решения b_n = \alpha n^m d^n всегда один и тот же?

Нет. Такой вид частного решения соответствует только специальной правой части вида $B d^n$.

[Sakura]

GAA писал(а):

Нет. Такой вид частного решения соответствует только специальной правой части вида $B d^n$.

Тогда как найти вид частного решения в другой ситуации?
Например, если бы у нас правая часть была равна 4 * 7^n^+^1 - 5, или еще какая-нибудь, то как бы мы имея правую часть исходного соотношения вывели вид частного решения?
Или правой части такого вида никогда быть не может?

[GAA]

Sakura писал(а):

Тогда как найти вид частного решения в другой ситуации?

Можно было бы поговорить о специальных правых частях вида $P_l(n)d^n$, где $P_l(n)$ — заданный многочлен $l$-ой степени и их суммах, но всеобъемлющий ответ я дать не смогу.

[Sakura]

GAA, а какие еще виды правых частей бывают?

И имеет ли какое-то значение то, что у нас в первоначальном соотношении в правой части есть множитель 3^n^+^1 и то, что у нас один корень получился равный 3, а так же то, что в частном решении мы d^n = 3^n ?

Как это все связано?

[GAA]

Если правая часть имеет вид $P_l(n)d^n$, где $P_l(n)$ — заданный многочлен $l$-ой степени, то частное решение ищется в виде $Q_l(n)n^m d^n$, где $Q_l(n)$ — многочлен c неопределенными коэффициентами, $m$ — кратность совпадения корня характеристического многочлена с $d$.
Если правая часть является суммой, т.е. имеет вид $f_n = f_n^1 + f_n^2$, и $b_n^1$, $b_n^2$ — частные решения соответствующие этим правым частям, то $b_n^1+ b_n^2$ будет частным решением для правой части $f_n$.

Sakura писал(а):

Тогда как найти вид частного решения в другой ситуации? Например, если бы у нас правая часть была равна 4 * 7^n^+^1 - 5, или еще какая-нибудь, то как бы мы имея правую часть исходного соотношения вывели вид частного решения?

В Вашем случае, как раз, правая часть является суммой «специальных» правых частей.

Sakura писал(а):

И имеет ли какое-то значение то, что у нас в первоначальном соотношении в правой части есть множитель 3^n^+^1 и то, что у нас один корень получился равный 3, а так же то, что в частном решении мы d^n = 3^n ?

Да, имеет. Об этом я писал раньше в теме, и только что (выше) в этом сообщении.

Общение на форуме не может заменить чтение книг. Начните их читать!

[Sakura]

GAA, спасибо за объяснение. По поводу книг - искала, читала, но никакая книга не заменит консультации с человеком, который хорошо понимает эту тему.