2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Работаем с ВТФ через урезанный дискриминант
Сообщение05.10.2021, 17:04 


01/10/21
3
Пытался разобраться в проблеме, и в результате нашёл несколько интересных штук, которыми хочу поделиться. Пока что, естественно, имеет смысл работать только с третьей степенью.

Исходную формулировку обозначим так:
$ a^n + b^n = c^n $


Так как мы часто будем использовать выражение $ a + b $, то обозначим его как $ d = a + b $

Создадим искуственное квадратное уравнение следующего вида:
$ ax^2 - dx + b = 0 $


Очевидно, что при $ x = 1 $ уравнение сходится.

Теперь используем формулу дискриминанта чтобы определить $a$ и $b$.
$ a, b = \frac{ d \pm \sqrt{ d^2 - 4ab } }{ 2 } $


Для каждой степени $ n $ у нас будут разные вариации этого уравнения.

Для третьей, например, мы можем определить ab так:

$ab = \frac{d^3 - c^3}{3d} $


Подставляем:
$ a, b = \frac{ d \pm \sqrt{ d^2 - 4\frac{d^3 - c^3}{3d} } }{ 2 } $


Или:
$ a, b = \frac{ d \pm \sqrt{ \frac{4c^3 - d^3}{3d} } }{ 2 } $


И эта формула позволяет нам генерировать пары $a$ и $b$ для любых пар $d$ и $c$.

Так вот. Последнее уравнение может решаться нацело только в том случае, если $ \sqrt{4c^3 - d^3} $ будет иметь такую же иррациональную часть, как $ \sqrt{3d} $. Почему-то это происходит только если $c=d$.

У меня есть догадка, почему так, но оформить её в что-то понятное не хватает знаний.

Поскольку подкоренное выражение по сути равно $(a-b)^2$, то его можно представить и через кусок тринома следующим образом:
$ ((c-a)+(c-b))^2 - 4(c-a)(c-b) $, что после нехитрых подстановок и трансформаций превратится в:

$(d-2c)^2 - \frac{4(d-c)^3}{3d}$


Очевидно, что $d$ и $c$ должны иметь общий делитель (могу объяснить, почему). Но даже если они имеют общий делитель, то остаток под корнем (иррациональная часть) для любых отличающихся $d$ и $c$ всегда кратен $\frac{4(d-c)^3}{3d}$$.

Почему так происходит? Пока что моя догадка в том, что $(d-2c)^2$ и $\frac{4(d-c)^3}{3d}$ имеют кратные основания, но не представляю как это подвязать ко всему вышесказанному.

Буду благодарен за любые комментарии и подсказки.


UPD:

То, что у $d$ и $c$ есть общий делитель (а соответственно и у $(d-c)$ и $(d-2c)$) доказывается элементарно если мы считаем что $a$, $b$ и c являются целыми.

$a^3+b^3=c^3$
$ d^3 = c^3 + 3abd $
$ d^2 = \frac{c^3}{d} + 3ab $

Поскольку $d^2$ и $3ab$ однозначно являются целыми, то и $\frac{c^3}{d}$ тоже должно быть целым.

Поскольку $d$ больше $c$, то такое возможно только в том случае, если у них есть общий делитель. Например, $6^3/8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работаем с ВТФ через урезанный дискриминант
Сообщение07.10.2021, 06:15 


21/05/16
4157
Аделаида
NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):
Теперь используем формулу дискриминанта чтобы определить $a$ и $b$.
$ a, b = \frac{ d \pm \sqrt{ d^2 - 4ab } }{ 2 } $

А называние разных переменных одинаково вас совсем не смущает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Работаем с ВТФ через урезанный дискриминант
Сообщение07.10.2021, 07:10 


01/10/21
3
Каких разных? Тут уже все переменные подставлены, если что.

Ну я не знаю, давайте пошагово развернём и разберёмся.

$a,b = \frac{d \pm \sqrt{d^2-4ab}}{2} $

$a,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2} $

$a,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a^2+2ab+b^2)-4ab}}{2} $

$a,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a^2+b^2)-2ab}}{2} $

$a,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a-b)^2}}{2} $

$a,b = \frac{a+b \pm (a-b)}{2} $

$a = \frac{a+b + a - b}{2} $

$a = \frac{2a}{2} $

$b = \frac{a+b - a + b}{2} $

$b = \frac{2b}{2} $

Вроде бы это всё одни и те же переменные. Подправьте, если я не прав.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работаем с ВТФ через урезанный дискриминант
Сообщение07.10.2021, 10:48 
Аватара пользователя


15/09/13
353
г. Ставрополь
NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):
Почему-то это происходит только если $c=d$.

$0$
NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):
и подсказки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работаем с ВТФ через урезанный дискриминант
Сообщение07.10.2021, 20:59 


21/05/16
4157
Аделаида
NOtherFermatist в сообщении #1534181 писал(а):
Каких разных? Тут уже все переменные подставлены, если что.

Таких. Откуда слева $a$ и $b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Работаем с ВТФ через урезанный дискриминант
Сообщение08.10.2021, 21:24 


01/10/21
3
Из знаменателя формулы корня уравнения. Как вы наверняка помните, там ещё есть деление на $a$, а у нас его нету. В то же время сам корень уравнения $x$ нам заведомо известен, и равен единице. Значит, можно смело переносить $a$ из знаменателя в левую часть. А вот то, что если поменять знак, то получается $b$, это уже случайная находка.

На всякий случай, в предыдущем сообщении, на которое вы ответили, расписал детально, почему это работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работаем с ВТФ через урезанный дискриминант
Сообщение09.10.2021, 08:28 


21/05/16
4157
Аделаида
А, это я затупил. Понятно.
NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):
Последнее уравнение может решаться нацело только в том случае, если $ \sqrt{4c^3 - d^3} $ будет иметь такую же иррациональную часть, как $ \sqrt{3d} $.

Мне кажется, вы хотели сказать "если $\dfrac{4c^3-d^3}{3d}$ - квадрат целого числа" (и корень из этой дроби такой же по чётности, как и $d$).
NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):
что после нехитрых подстановок и трансформаций превратится в $(d-2c)^2 - \frac{4(d-c)^3}{3d}$

Ну да, это же и есть эта дробь.
NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):
Но даже если они имеют общий делитель, то остаток под корнем (иррациональная часть) для любых отличающихся $d$ и $c$ всегда кратен $\frac{4(d-c)^3}{3d}$$.

Что это значит? "Остаток под корнем (иррациональная часть)" - это разность дроби и ближайшего квадрата к ней? Или что?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group