Работаем с ВТФ через урезанный дискриминант

[NOtherFermatist]

Пытался разобраться в проблеме, и в результате нашёл несколько интересных штук, которыми хочу поделиться. Пока что, естественно, имеет смысл работать только с третьей степенью.

Исходную формулировку обозначим так:

$ a^n + b^n = c^n $

Так как мы часто будем использовать выражение $ a + b $, то обозначим его как $ d = a + b $

Создадим искуственное квадратное уравнение следующего вида:

$ ax^2 - dx + b = 0 $

Очевидно, что при $ x = 1 $ уравнение сходится.

Теперь используем формулу дискриминанта чтобы определить $a$ и $b$.

$ a, b = \frac{ d \pm \sqrt{ d^2 - 4ab } }{ 2 } $

Для каждой степени $ n $ у нас будут разные вариации этого уравнения.

Для третьей, например, мы можем определить ab так:

$ab = \frac{d^3 - c^3}{3d} $

Подставляем:

$ a, b = \frac{ d \pm \sqrt{ d^2 - 4\frac{d^3 - c^3}{3d} } }{ 2 } $

Или:

$ a, b = \frac{ d \pm \sqrt{ \frac{4c^3 - d^3}{3d} } }{ 2 } $

И эта формула позволяет нам генерировать пары $a$ и $b$ для любых пар $d$ и $c$.

Так вот. Последнее уравнение может решаться нацело только в том случае, если $ \sqrt{4c^3 - d^3} $ будет иметь такую же иррациональную часть, как $ \sqrt{3d} $. Почему-то это происходит только если $c=d$.

У меня есть догадка, почему так, но оформить её в что-то понятное не хватает знаний.

Поскольку подкоренное выражение по сути равно $(a-b)^2$, то его можно представить и через кусок тринома следующим образом:
$ ((c-a)+(c-b))^2 - 4(c-a)(c-b) $, что после нехитрых подстановок и трансформаций превратится в:

$(d-2c)^2 - \frac{4(d-c)^3}{3d}$

Очевидно, что $d$ и $c$ должны иметь общий делитель (могу объяснить, почему). Но даже если они имеют общий делитель, то остаток под корнем (иррациональная часть) для любых отличающихся $d$ и $c$ всегда кратен $\frac{4(d-c)^3}{3d}$$.

Почему так происходит? Пока что моя догадка в том, что $(d-2c)^2$ и $\frac{4(d-c)^3}{3d}$ имеют кратные основания, но не представляю как это подвязать ко всему вышесказанному.

Буду благодарен за любые комментарии и подсказки.


UPD:

То, что у $d$ и $c$ есть общий делитель (а соответственно и у $(d-c)$ и $(d-2c)$) доказывается элементарно если мы считаем что $a$, $b$ и c являются целыми.

$a^3+b^3=c^3$
$ d^3 = c^3 + 3abd $
$ d^2 = \frac{c^3}{d} + 3ab $

Поскольку $d^2$ и $3ab$ однозначно являются целыми, то и $\frac{c^3}{d}$ тоже должно быть целым.

Поскольку $d$ больше $c$, то такое возможно только в том случае, если у них есть общий делитель. Например, $6^3/8$.

[kotenok gav]

NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):

Теперь используем формулу дискриминанта чтобы определить $a$ и $b$.
$ a, b = \frac{ d \pm \sqrt{ d^2 - 4ab } }{ 2 } $

А называние разных переменных одинаково вас совсем не смущает?

[NOtherFermatist]

Каких разных? Тут уже все переменные подставлены, если что.

Ну я не знаю, давайте пошагово развернём и разберёмся.

$a,b = \frac{d \pm \sqrt{d^2-4ab}}{2} $

$a,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2} $

$a,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a^2+2ab+b^2)-4ab}}{2} $

$a,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a^2+b^2)-2ab}}{2} $

$a,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a-b)^2}}{2} $

$a,b = \frac{a+b \pm (a-b)}{2} $

$a = \frac{a+b + a - b}{2} $

$a = \frac{2a}{2} $

$b = \frac{a+b - a + b}{2} $

$b = \frac{2b}{2} $

Вроде бы это всё одни и те же переменные. Подправьте, если я не прав.

[vxv]

NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):

Почему-то это происходит только если $c=d$.

$0$

NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):

и подсказки.

[kotenok gav]

NOtherFermatist в сообщении #1534181 писал(а):

Каких разных? Тут уже все переменные подставлены, если что.

Таких. Откуда слева $a$ и $b$?

[NOtherFermatist]

Из знаменателя формулы корня уравнения. Как вы наверняка помните, там ещё есть деление на $a$, а у нас его нету. В то же время сам корень уравнения $x$ нам заведомо известен, и равен единице. Значит, можно смело переносить $a$ из знаменателя в левую часть. А вот то, что если поменять знак, то получается $b$, это уже случайная находка.

На всякий случай, в предыдущем сообщении, на которое вы ответили, расписал детально, почему это работает.

[kotenok gav]

А, это я затупил. Понятно.

NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):

Последнее уравнение может решаться нацело только в том случае, если $ \sqrt{4c^3 - d^3} $ будет иметь такую же иррациональную часть, как $ \sqrt{3d} $.

Мне кажется, вы хотели сказать "если $\dfrac{4c^3-d^3}{3d}$ - квадрат целого числа" (и корень из этой дроби такой же по чётности, как и $d$).

NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):

что после нехитрых подстановок и трансформаций превратится в $(d-2c)^2 - \frac{4(d-c)^3}{3d}$

Ну да, это же и есть эта дробь.

NOtherFermatist в сообщении #1534051 писал(а):

Но даже если они имеют общий делитель, то остаток под корнем (иррациональная часть) для любых отличающихся $d$ и $c$ всегда кратен $\frac{4(d-c)^3}{3d}$$.

Что это значит? "Остаток под корнем (иррациональная часть)" - это разность дроби и ближайшего квадрата к ней? Или что?