Пытался разобраться в проблеме, и в результате нашёл несколько интересных штук, которыми хочу поделиться. Пока что, естественно, имеет смысл работать только с третьей степенью.
Исходную формулировку обозначим так:
Так как мы часто будем использовать выражение
![$ a + b $ $ a + b $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/a/2da9398612e9640e632ae970be0c4ae482.png)
, то обозначим его как
![$ d = a + b $ $ d = a + b $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/6/b564efe92e2f1e7cb83d9ab05a21e9f482.png)
Создадим искуственное квадратное уравнение следующего вида:
Очевидно, что при
![$ x = 1 $ $ x = 1 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/6/8467520317c6e969c4cd5897d79112c682.png)
уравнение сходится.
Теперь используем формулу дискриминанта чтобы определить
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
.
Для каждой степени
![$ n $ $ n $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/2/1921941e267a38d161d9fcc7b3df9a6182.png)
у нас будут разные вариации этого уравнения.
Для третьей, например, мы можем определить ab так:
Подставляем:
Или:
И эта формула позволяет нам генерировать пары
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
для любых пар
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
.
Так вот. Последнее уравнение может решаться нацело только в том случае, если
![$ \sqrt{4c^3 - d^3} $ $ \sqrt{4c^3 - d^3} $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/2/9f2fb2bc74f343af7f55489b1b98231682.png)
будет иметь такую же иррациональную часть, как
![$ \sqrt{3d} $ $ \sqrt{3d} $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/e/5ae76f07b46dfc2844354e9bfdee00b382.png)
. Почему-то это происходит только если
![$c=d$ $c=d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/a/e3a538fb114f2895e0ef7aacbcdc823e82.png)
.
У меня есть догадка, почему так, но оформить её в что-то понятное не хватает знаний.
Поскольку подкоренное выражение по сути равно
![$(a-b)^2$ $(a-b)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/0/b70fa4be0729de3b395058b8fb98d82282.png)
, то его можно представить и через кусок тринома следующим образом:
![$ ((c-a)+(c-b))^2 - 4(c-a)(c-b) $ $ ((c-a)+(c-b))^2 - 4(c-a)(c-b) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/21471062fcd3934a5699632fddbd318b82.png)
, что после нехитрых подстановок и трансформаций превратится в:
Очевидно, что
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
должны иметь общий делитель (могу объяснить, почему). Но даже если они имеют общий делитель, то остаток под корнем (иррациональная часть) для любых отличающихся
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
всегда кратен
![$\frac{4(d-c)^3}{3d}$$ $\frac{4(d-c)^3}{3d}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/8/3f888e1542a2c9e6755ae7246637c09082.png)
.
Почему так происходит? Пока что моя догадка в том, что
![$(d-2c)^2$ $(d-2c)^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/f/02fec9b28c11faea408ee420d004dc1182.png)
и
![$\frac{4(d-c)^3}{3d}$ $\frac{4(d-c)^3}{3d}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/2/722a6da1fe05bb4c6df694883e40fed682.png)
имеют кратные основания, но не представляю как это подвязать ко всему вышесказанному.
Буду благодарен за любые комментарии и подсказки.
UPD:То, что у
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
есть общий делитель (а соответственно и у
![$(d-c)$ $(d-c)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/a/9ea66b31d4921dc92a790dcc10d3f4cf82.png)
и
![$(d-2c)$ $(d-2c)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/2/e92bb681ee48f2afb5294f7aac6d0cca82.png)
) доказывается элементарно если мы считаем что
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
и
![c c](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/8/4a8a08f09d37b73795649038408b5f3382.png)
являются целыми.
![$a^3+b^3=c^3$ $a^3+b^3=c^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/6/fd6fba75527b1203b6cc0aabd04dc1be82.png)
![$ d^3 = c^3 + 3abd $ $ d^3 = c^3 + 3abd $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/1/bb1821d6a00f828fcd505398ad3ed75b82.png)
![$ d^2 = \frac{c^3}{d} + 3ab $ $ d^2 = \frac{c^3}{d} + 3ab $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/1/a51c6a080773526594f2cfeb0760ef8b82.png)
Поскольку
![$d^2$ $d^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/3/fa3bc0babe0a713b198eab1bd66439a482.png)
и
![$3ab$ $3ab$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/9/c290e02920b65d5198504f2f0eab062182.png)
однозначно являются целыми, то и
![$\frac{c^3}{d}$ $\frac{c^3}{d}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/6/26674da027b18051f75e21d4b43d669782.png)
тоже должно быть целым.
Поскольку
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
больше
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, то такое возможно только в том случае, если у них есть общий делитель. Например,
![$6^3/8$ $6^3/8$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/2/5b2f916a3653ef5103549bcd526dc77f82.png)
.