Как возникает эта ошибка?

[Alastoros]

Допустим, что два заряда электрического диполя размещены не на оси $OZ$, а на оси $OY$. Введем сферическую систему координат такую, что координаты декартовы будут равны:
$x = r{\sin{\theta}}{\cos{\varphi}}$
$y = r{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}}$
$z = r{\cos{\theta}}$
Пусть заряды располагаются на некотором расстоянии друг от друга $h$, на оси $OY$ с одинаковыми расстояниями от начала координат, положительный слева, отрицательный справа

, тогда координаты зарядов будут равны:
${x_{01}} = {x_{02}} = {z_{01}} = {z_{02}} = 0$
${y_{01}} = -0,5h$
${y_{02}} = 0,5h$
, откуда можно вычислить сферические координаты зарядов:
${r_{01}} = {r_{02}} = 0,5h$
${{\theta}_{01}} = {{\theta}_{02}} = 90$
${{\varphi}_{01}} = 270$
${{\varphi}_{02}} = 90$

Задача заключается в вычислении потенциала электрического поля, для чего можно использовать принцип суперпозиции:
$U = K{q_1}{{r_1}^{-1}} + K{q_2}{{r_2}^{-1}} = Kq({{r_1}^{-1}} - {{r_2}^{-1}})$
, где ${r_1}$ и ${r_2}$ - расстояния от точки, в которой наблюдается поле, до первого и второго зарядов соответственно. Таким образом, задача нахождения потенциала заключается в выражении расстояний от точки наблюдения до зарядов через расстояние до начала координат $r$, широту ${\theta}$ и долготу ${\varphi}$. Используем формулу расстояния ${r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}$ и формулы переноса начала координат в точку первого и в точку второго заряда $x' = x - {x_0}$, $y' = y - {y_0}$ и $z' = z - {z_0}$, выражения декартовых координат через сферические и вычисленные сферические координаты обеих зарядов, тогда обратное расстояние от первого до заряда точки, в которой наблюдается поле, равно ${{r_1}^{-1}} = {{({r^2} + 0,25{h^2} - rh{\cos{\theta}})}^{-0,5}}$, а от второго ${{r_2}^{-1}} = {{({r^2} + 0,25{h^2} + rh{\cos{\theta}})}^{-0,5}}$.

Чтобы вычислить компоненты электрического поля, используем формулы градиента в сферических координатах:
${E_r} = -{{U}_{,1}}$
${E_{\theta}} = -{r^{-1}}{{U}_{,2}}$
${E_{\varphi}} = -{({r{\sin{\theta}})^{-1}}{{U}_{,3}}$
, откуда компоненты такого поля будут равны
${E_r} = 0,5Kq({(2r + h{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}{{({r^2} + 0,25{h^2} + rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}}$
$- {{(2r - h{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}{{({r^2} + 0,25{h^2} - rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}}})$
${E_{\theta}} = 0,5K{p_e}{\cos{\theta}}{\sin{\varphi}}({{({r^2} + 0,25{h^2} + rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}} + {{({r^2} + 0,25{h^2} - rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}})$
${E_{\varphi}} = 0,5K{p_e}{\cos{\varphi}}({{({r^2} + 0,25{h^2} + rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}} + {{({r^2} + 0,25{h^2} - rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}})$

Предположим, как и при обычном вычислении диполя, что расстояние до точки наблюдения поля $r$ намного больше расстояния между зарядами $h$, и тогда эти выражения упрощаются:
${E_r} = 0$
${E_{\theta}} = K{p_e}{\cos{\theta}}{\sin{\varphi}}{r^{-3}}$
${E_{\varphi}} = K{p_e}{\cos{\varphi}}{r^{-3}}$

Что дает (по формуле ротора в сферических координатах) ненулевой ротор такого поля
${{({\nabla}{\times}E)}_{\theta}} = 2K{p_e}{\cos{\varphi}}{r^{-4}}$
${{({\nabla}{\times}E)}_{\varphi}} = -2K{p_e}{\cos{\theta}}{\sin{\varphi}}{r^{-4}}$
, однако при вычислении от точной формулы он нулевой, как и должно быть для потенциального поля.

Если же разместить заряды и считать поле как обычно, то ротор будет нулевым и для точного, и для приближенного случая. Почему же здесь получается иначе?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Обозначения вообще-то полезно вводить, а тут неочевидных добрая половина. Напишите, что такое $h$, откуда и как вы отсчитываете углы и т.п.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[DimaM]

Alastoros
Формулы для $r_{1}, r_{2}$ должны быть $r^2_{1}=(x-x_{01})^2+(y-y_{01})^2+(z-z_{01})^2$, что с вашими координатами зарядов не согласуется.

[Alastoros]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #1534131 писал(а):

что с вашими координатами зарядов не согласуется

Да, Вы правы, при выводе радиусов я, очевидно, перепутал координаты и подставил икс вместо игрек, или, скорее всего, считал у себя обратные радиусы и для диполя по оси игрек и для диполя по оси икс и выложил сюда не первые, а вторые, однако теперь пересчитал все сначала, и в дальнем приближении получились те же компоненты, что и ранее, так что сказанное о роторе приближения все-таки верно.

Впрочем, это и не удивительно, если взять картинку силовых линий электрического поля диполя, если расстояние между зарядами очень маленькое, например в учебнике Измайлова, то это и выглядит, как суперпозиция двух противоположных вихревых электрических полей, а ротор приближения как раз и меняет знак, если обойти диполь по долготе на 180 градусов. Если бы такое представление было точно справедливо, в координатах ротора там и там были бы изменения плотности магнитной энергии и это работало бы как энергетический дестабилизатор, но оно, к сожалению, таким только выглядит.