Минимальная модальная интерпретация квантовой механики

[warlock66613]

Меня просили - и я обещал - рассказать о минимальной модальной интерпретации, вот я выполняю. Я решил, что буду делать это в форме серии небольших постов. Для начала несколько базовых понятий и определений.

I.

Во-первых, в центре этой интерпретации находится понятие (физической, квантомеханической) системы. Математически система характеризуется некоторым гильбертовым пространством \( \mathcal H \), и в каждый момент времени \( t \) система находится в определённой точке \( \Psi(t) \) этого пространства. Эта точка называется онтологическим состоянием системы.

Что тут важно отметить.

1. Пока всё очень "классично". Единственное, что необычно - это то, что пространство состояний имеет дополнительную структуру (оно гильбертово).

2. Тут уже можно заметить некоторое отличие от "привычной" квантовой механики. Именно, хотя \( \Psi \) - это волновая функция системы, и её можно разложить по базису гильбертово пространства, но никакого вероятностного смысла коэффициенты такого разложения не имеют. И вообще это разложение на уровне кинематики большого смысла не имеет. В каждый момент времени каждая система находится строго в одной точке пространства состояний, имеет строго одну определённую волновую функцию и не имеет никакой другой.

3. Состояние называется онтологическим, потому что перемещение соответствующей точки с течением времени - это то, что происходит на самом деле, в природе. Постулируется, что эта картина (с точностью до математического изоморфизма) действительно отражает реально существующее и реально происходящее.

Надеюсь, тут всё ясно, а если неясно - спрашивайте, конечно.

II.

Кроме онтологического состояния, существует понятие эпистемологического состояния. Эпистемологическое состояние - это набор пар (cостояние, вероятность) \( \lbrace (\Psi_i, p_i) \rbrace_i \), таких что сумма всех вероятностей \( \sum\limits_i p_i \) не больше единицы. Ну, обычно сумма всех вероятностей равна единице, но рассматриваются также и эпистемологические состояния, когда полная вероятность меньше единицы. Сильно забегая вперёд, можно сказать, что означает, что существует ненулевая вероятность, что рассматриваемая система (более) не существует.

1. В то время как онтологическое состояние (волновая функция) - это то, что есть, эпистемологическое состояние - это то, что мы (или не мы) об этом знаем.

2. Как окажется в дальнейшем, в основном оказываются нужны и интересны только эпистемологические состояния, состоящие из взаимноортогональных онтологических состояний. Такие эпистемологические состояния имеют удобное изоморфное представление с помощью матриц плотности. \( \hat \rho = \sum\limits_i p_i \lvert \Psi_i \rangle \langle \Psi_i \rvert \)

III.

Постулируется, что существуют некоторые фундаментальные причины, по которым мы - люди и не только - как правило не можем узнать онтологическое состояние интересующей нас системы. Поэтому выделяется понятие объективного эпистемологического состояния - то есть максимально возможного знания об онтологическом состоянии.

Таким образом, любой системе (открытой и замкнутой) сопоставляются два состояния: 1) онтологическое - волновая функция, это истинное состояние системы, 2) объективное эпистемологическое - матрица плотности, это - в силу пока неназванных, но объективных существующих причин - наилучшая возможная аппроксимация истинного состояния системы.

Соотношение между онтологическим и объективным эпистемологическим состоянием следующее. Для почти любой матрицы плотности есть единственный базис, в котором она диагональна. (Те исключительные матрицы плотности, для которых такой базис неединственный, обычным для физики образом объявляются нефизичными. Их существование влечёт некоторые трудности, но авторы интерпретации подробно их разбирают и показывают, что настоящих, неустранимых проблем (неоднозначностей, разрывностей) из-за этого не возникает.) Так вот постулируется, что соответствующие базисные состояния - это возможные онтологические состояния системы, а соответствующие диагональные элементы матрицы плотности - это вероятности того, что система находится в определённом онтологическом состоянии. Такой постулат согласуется с общим соответствием между эпистемологическими состояниями и матрицами плотности (п. II.2).

1. Вот только теперь - после введения матриц плотности - появляются вероятности. То есть в этой интерпретации вероятности связаны строго в матрицами плотности, но не с волновыми функциями.

2. Вопрос о философской природе объективных вероятностей выходит за рамки интерпретации. К сожалению, вопрос о природе вероятностей вообще (и объективных и "субъективных") - это актуальный нерешённый философский вопрос, так что приходится положиться на интуитивное понимание, сформировавшееся за столетие практической, экспериментальной работы с квантомеханическими системами.

3. Это пока не те вероятности, о которых говорится в правиле Борна: они не связаны с каким-либо измерением или "взаимодействием с макроприбором", они просто существуют.

[KVV]

warlock66613
Спасибо!

[upgrade]

warlock66613 в сообщении #1533993 писал(а):

объективного эпистемологического состояния - то есть максимально возможного знания об онтологическом состоянии.

Предполагаются скрытые параметры, как источник случайности эпистемологического состояния?

[KVV]

warlock66613 в сообщении #1533993 писал(а):

То есть в этой интерпретации вероятности связаны строго в матрицами плотности, но не с волновыми функциями.

Верно ли утверждение, что в стандартной КМ вероятности во всех поставленных экспериментах связаны на самом деле только с матрицами плотности путем, который раскрывает декогеренция?

[warlock66613]

upgrade в сообщении #1534004 писал(а):

Предполагаются скрытые параметры, как источник случайности эпистемологического состояния?

Нет, _дополнительных_ скрытых параметров не предполагается. Но объективное эпистемологическое состояние возникает, когда волновая функция оказывается принципиально ненаблюдаемой. Так что формально это действительно интерпретация со скрытыми параметрами, но скрытые параметры - это обычные волновые функции.

-- 05.10.2021, 19:30 --

KVV в сообщении #1534011 писал(а):

Верно ли утверждение, что в стандартной КМ вероятности во всех поставленных экспериментах связаны на самом деле только с матрицами плотности путем, который раскрывает декогеренция?

Ну, явного контрпримера к этому пока никто не предложил. В этом смысле оно верно.

[KVV]

warlock66613 в сообщении #1534061 писал(а):

Ну, явного контрпримера к этому пока никто не предложил. В этом смысле оно верно.

А новые штуки типа POVM, слабые измерения как-то проявляют себя по отношению к этому утверждению?

[Markus228]

А как в этой интерпретации объясняется двухщелевой опыт? Ну т.е. изменение картины при наблюдении щелей, ведь тут как я понимаю наблюдаемый коллапс является просто появлением апостериорного знания об априорной классической неопределенности (смеси), и непонятно, как измерение может повлиять на систему.

[zykov]

warlock66613 в сообщении #1533993 писал(а):

Меня просили - и я обещал - рассказать о минимальной модальной интерпретации

Наверно была какая-то предистория, но я не в курсе.
А можно кратко разъяснить, в чём тут преимущество, какие цели пытаются достичь? Может есть какая ссылка, где это подробнее описано?

[warlock66613]

IV

Важным понятием является понятие подсистемы. Cистема $C$ с гильбертовым пространством состояний $\mathcal H_C$ состоит из подсистем $A$ и $B$ с гильбертовыми пространствами состояний, соответственно, $\mathcal H_A$ и $\mathcal H_B$, если существуют такие ортонормированные базисы этих трёх пространств, что любой базисный вектор $\mathcal H_C$ является тензорным произведением базисного вектора $\mathcal H_A$ на базисный вектор $\mathcal H_B$. Кратко это записывается как $C = A + B$. Отсюда следует, что любое состояние комбинированной системы можно представить как линейную комбинацию состояний подсистем:

$$\Psi _{A+B} = \alpha \Psi_{A,1} \Psi_{B,1} + \beta \Psi_{A,2} \Psi_{B, 2}.$$

1. Подсистемы $A$, $B$ сами могут быть, конечно, составными. Определение тривиально обобщается на произвольное число подсистем ($W = A + B + C + \ldots$).

2. Обычно считается, что подсистема не обладает определённой волновой функцией в общем случае. В самом деле - что это могла бы быть за функция - $\Psi_{A,1}$ или $\Psi_{A,2}$, а может быть и вообще какая-то их линейная кобинация? То есть в резком противоречии с понятием подсистемы в классической физике, зная состояние (в смысле волновую функцию) системы, нельзя определить состояние подсистемы - просто потому что у подсистемы нет определённого состояния. Так вот, минимальная модальная интерпретация эту ситуацию описывает иначе. Именно, в этой интерпретации, любая (под)система всегда находится в определённом состоянии (чистом, то есть состоянии с определённой волновой функцией), но зная состояние системы нельзя точно определить состояние её подсистемы. То есть соотношение между состоянием системы и подсистемы в квантовом случае более сложное, чем в классическом.

-- 09.10.2021, 16:07 --

zykov в сообщении #1534183 писал(а):

Может есть какая ссылка, где это подробнее описано?

Вот, максимально подробно: https://arxiv.org/abs/1405.6755

-- 09.10.2021, 16:09 --

KVV в сообщении #1534068 писал(а):

А новые штуки типа POVM, слабые измерения как-то проявляют себя по отношению к этому утверждению?

Если кратко, то нет.

-- 09.10.2021, 16:55 --

Markus228 в сообщении #1534079 писал(а):

наблюдаемый коллапс является просто появлением апостериорного знания об априорной классической неопределенности (смеси)

Нет, не совсем. Подробности будут дальше.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1533993 писал(а):

2. Вопрос о философской природе объективных вероятностей выходит за рамки интерпретации. К сожалению, вопрос о природе вероятностей вообще (и объективных и "субъективных") - это актуальный нерешённый философский вопрос, так что приходится положиться на интуитивное понимание, сформировавшееся за столетие практической, экспериментальной работы с квантомеханическими системами.

Вообще, всё ваше описание пока что выглядит как многомировая интерпретация в изложении для философов. Минус математика плюс философская терминологния.

[Markus228]

warlock66613 в сообщении #1534383 писал(а):

комбинацию состояний подсистем:

$$\Psi _{A+B} = \alpha \Psi_{A,1} \Psi_{B,1} + \beta \Psi_{A,2} \Psi_{B, 2}.$$

А почему всего два слагаемых?

[Cos(x-pi/2)]

Markus228 в сообщении #1534547 писал(а):

А почему всего два слагаемых?

Потому что авторы указанной выше статьи выбрали для обсуждения этот простой частный пример "quantum entanglement" (ф-ла (15) на стр. 18, обсуждение под названием "An Example" на стр. 25 :)

[warlock66613]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1534574 писал(а):

Потому что авторы указанной выше статьи выбрали для обсуждения этот простой частный пример "quantum entanglement" (ф-ла (15) на стр. 18, обсуждение под названием "An Example" на стр. 25 :)

Именно так. Конечно, слагаемых должно быть четыре (я-то писал в качестве общего случая, а пример - этот самый, конечно, - будет в следующем посте. Наверно: фидбек в виде вопросов привёл к тому, что хочется начать изложение сначала и с иной точки зрения, несколько отличной от авторской. :-) Если у меня получится, то не исключено, что вместо раздела V будет такой вот ремейк.

[upgrade]

warlock66613 в сообщении #1534061 писал(а):

скрытые параметры - это обычные волновые функции

Скрытые законы, которые порождают параметры при наблюдении.

[warlock66613]

Мне тут напомнили, что я про интерпретации давно ничего не писал. Так вот, минимальная модальная интерпретация оказалась неверна. Наверно, это лучшее, что может случиться с интерпретацией (кроме того чтобы оказаться единственной общепризнанной конечно). Дело в том, что она придаёт особое значение состояниям в базисе, где матрица плотности диагональна. Но pointer basis в теориии декогеренции — это немножко другой базис, в нём матрица плостности только почти диагональна. Так вот эти базисы весьма различны, как показано в статье Does Decoherence Make Observations Classical?. Так, для бейсбольного мяча неопределённость координаты в состоянии, в котором матрица плотности точно диагональна, свыше 250 метров! Можно констатировать, что минимальная модальная интерпретация поставила не на тот базис.