Решения УЧП от функции трех переменных

[kitnone]

Какие есть численные методы, статьи, да в общем то что угодно по решению уравнения в частных производных второго порядка от функции трёх переменных? К примеру:

$A=A(x,y,z)$
$A_z=A_{xx}+A_{yy}+f(x,y)$

[Flood]

Методы расщепления, например. Двумерная задача (если одна из переменных имеет смысл времени) сводится к двум одномерным. Я с ними в своё время знакомился по книге Пасконова, Полежаева, Чудова - что-то там про теплоперенос. А может, и простой явной схемы хватит. Тут ещё можно схемы методов посмотреть: https://ftf.tsu.ru/wp-content/uploads/A.YU.-Krajnov-L.L.-Minkov-islennye-metody-resheniya-zadach-teplo-i-massoperenosa.pdf - если Ваше уравнение можно трактовать как уравнение теплопереноси или диффузии.

[пианист]

kitnone
Например, разностные схемы, один из самых ходовых методов, можно глянуть Самарский, Теория разностных схем http://samarskii.ru/books/book1977.pdf
Но вообще стоит (если еще не) получить какое-то общее представление о предмете, Тихонов, Самарский, Уравнения математической физики http://ijevanlib.ysu.am/wp-content/uplo ... e63622.pdf, Владимиров, Уравнения математический физики http://cmcstuff.esyr.org/vmkbotva-r15/4 ... %D0%B8.pdf
Конкретно приведенное уравнение, как правильно было сказано, теплопроводность с источником, линейная часть имеет общее решение (например, через фундаментальное).
upd
Аналитическое выражение (в квадратурах) решения зК для этого уравнения см. Владимиров, гл.3, §16, п.4.

[kitnone]

Flood в сообщении #1531698 писал(а):

если Ваше уравнение можно трактовать как уравнение теплопереноси или диффузии.

Вообще оно чуть другое по условию - про лазерный пучок
$iA_z=A_{xx}+A_{yy}+f(x,y,z)$
Но думаю разобравшись с теплопроводностью легко разберусь со Шредингером (+ по Шредингеру в принципе литературы меньше чем по теплопроводности)

[kitnone]

Так, окей, новый вопрос, но в ту же тему. Вот я составил разностную схему (и не одну) и хотел бы сверить ее с аналитическим (квазианалитическим мб) решением. Хотел бы еще попросить книжек про такое. С одномерным было намного понятнее.

[Flood]

kitnone
Сколько видел, везде просто строят численные решения на уменьшающихся сетках и сравнивают значения в характерных точках, максимальные отклонения, разные интегральные величины. Литературы особенно не посоветую, немного есть в Н.Н.Калиткин, П.В.Корякин, "Численные
методы в двух книгах. Книга 2. Методы математической физики", параграф 2.4.3. "Экспериментальная математика".

[Flood]

...если вопрос был о том, как сравнить численное решение с известным аналитическим.

[Vince Diesel]

А область какая?

[kitnone]

Flood в сообщении #1533160 писал(а):

kitnone
Н.Н.Калиткин, П.В.Корякин, "Численные
методы в двух книгах. Книга 2. Методы математической физики", параграф 2.4.3. "Экспериментальная математика".

Спасибо, почитаю. Забавны всё таки эти двумерные штуки. В одномерном уравнении шредингера бывало накидал всего, с аналитикой (квазианалитика, всё таки бесконечная сумма интегралов) сверился, градиентный метод за пару вечеров собрал и все работает, а тут сижу и разностную схему собираю несколько недель.

-- 03.10.2021, 19:01 --

Vince Diesel в сообщении #1533175 писал(а):

А область какая?

$0<x,y<1,$ T конечное но жестко не ограничено (какое будет красивее)

в качестве начального условия взял $A(x,y,0)=\sin(\pi x)\sin(\pi y)$ - самое простое что смог придумать

Если вопрос про это.

[kitnone]

пианист в сообщении #1531706 писал(а):

kitnone
upd
Аналитическое выражение (в квадратурах) решения зК для этого уравнения см. Владимиров, гл.3, §16, п.4.

Блин, поздно заметил, побежал сверять в матлабе.

[kitnone]

Так, я видимо дурачок. В общем. Есть явная схема для двумерного уравнения Шредингера, выбрал потому что проще всего выглядит, хоть и затратна по времени, но лан:
$iA_z=A_{xx}+A_{yy}+f(x,y,z)A$

Схемка:
$i\frac{y^{n+1}_{kl}-y^{n}_{kl}}{\tau}=\frac{y^{n}_{k+1l}-2y^{n}_{kl}+y^{n}_{k-1l}}{h^2_x}+\frac{y^{n}_{kl+1}-2y^{n}_{kl}+y^{n}_{kl-1}}{h^2_y}+f^n_{kl}y^n_{kl}$

Из предположения, что диаметры разбиения по x и y равны, перенеся весь n-слой налево и поделив все на $\frac{i}{\tau}$ получим:
$y^{n+1}_{kl}=\frac{f^n_{kl}+i/\tau}{i/\tau}y^{n}_{kl}+\frac{y^{n}_{k+1l}+y^{n}_{kl+1}-4y^{n}_{kl}+y^{n}_{k-1l}+y^{n}_{kl-1}}{ih^2/\tau}$

Загадка века: почему при изменении диаметра разбиения $h^2$ (меняю количество точек - Nx) в пределах условия устойчивости ($\tau/h^2<1/4$) получаются абсолютно разные результаты?

Соответствующий код:

Используется синтаксис Matlab M

clear;
Lx=1; Ly=1; T=0.05;

Nx=31; Nt=200;
Dx=Lx/(Nx-1); Dt=T/Nt;

Tn=zeros(Nx,Nx);
x=linspace(0,Lx,Nx); 
y=linspace(0,Lx,Nx);
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%начальные условия
for n=1:Nx
    for m=1:Nx
    Tn(n,m)=0.1*sin(pi*Dx*(n-1))*sin(pi*Dx*(m-1))*exp(i*(Dx*(n-1))^2);  %0.1*sin(pi*x)*sin(p*y)*exp(i*x^2)
    end
end
%продублировал граничные условия на всякий, если начальные условия будут плохие
Tn(1,:)=0;
Tn(Nx,:)=0;
Tn(:,1)=0;
Tn(:,Nx)=0;
%основной цикл
for n=1:Nt
    Tc=Tn;
    for q=2:Nx-1
        for m=2:Nx-1
            Tn(q,m)=((1+i/Dt)*Tc(q,m))/(i/Dt)+((Tc(q,m+1)+Tc(q+1,m)-4*Tc(q,m)+Tc(q,m-1)+Tc(q-1,m))/(Dx^2))/(i/Dt);
        end
    end
    
    %граничные штуки
    Tn(1,:)=0;
    Tn(Nx,:)=0;
    Tn(:,1)=0;
    Tn(:,Nx)=0;
    
    figure(1)
    mesh(x,y,abs(Tn));
end
 

[Flood]

kitnone

А с условием устойчивости точно все в порядке? По-моему, это условие для аналогичной схемы для уравнения теплопроводности. Здесь есть мнимая единица, по идее, условие должно отличаться.
Немного информации по численному решению уравнения Шредингера нашел у С.В. Поршнева "Компьютерное моделирование физических систем с использованием пакета MathCad", может быть будет что-то полезное.

[worm2]

Да, для мнимых коэффициентов устойчивость хитрее считается.
Самарский, Гулин. "Устойчивость разностных схем", М.: Наука — 1973
На стр. 84—86 исследуется устойчивость схем для одномерного уравнения Шредингера (но я уверен, что для многомерного то же самое):

$$iy_t=\sigma y_{\overline{x}x, \text{следующ.}}+(1-\sigma)y_{\overline{x}x, \text{предыдущ.}}$$

Вывод такой: схема абсолютно (при любых соотношениях между $\tau$ и $h$) устойчива при $\operatorname{Re}\sigma\geqslant 0.5$ и абсолютно неустойчива при $\operatorname{Re}\sigma<0.5$. Таким образом, явная ($\sigma=0$) схема абсолютно неустойчива.
Могу только подсластить пилюлю тем, что схема повышенного порядка точности $\sigma = \dfrac12-i\dfrac{h^2}{12\tau}$ устойчива.

[kitnone]

Эхх, как не хотелось разбираться с прогонкой для многомерных задач, но прогонка догнала. Спасибо за теорию устойчивости. Упустил момент.

[Vince Diesel]

kitnone в сообщении #1533126 писал(а):

Вот я составил разностную схему (и не одну) и хотел бы сверить ее с аналитическим (квазианалитическим мб) решением.

Ну, можно взять известное решение уравнения, поставить его в начальные и граничные данные. Тогда сразу будет с чем сравнивать.

kitnone в сообщении #1533781 писал(а):

в качестве начального условия взял $A(x,y,0)=\sin(\pi x)\sin(\pi y)$ - самое простое что смог придумать

Тут ответ (при $f\equiv0$) $e^{2 i t}\sin x\sin y$.