Счётное объединение счётных множеств без аксиомы выбора

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #153180 писал(а):

В утверждении ведь сказано "тогда и только тогда".

Ой! О чём я думал, когда читал оригинальное сообщение?

Профессор Снэйп в сообщении #153180 писал(а):

А в другую сторону почему нет доказательства?

А "в другую сторону" без аксиомы выбора нельзя даже доказать, что не может быть $|A|>|B|$:

Lévy A. On models of set theory with urelements. Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., phys., astr., 8 (1960), 463 - 465.

(Ссылку нашёл в книге К.Куратовского и А.Мостовского по теории множеств.)

[Профессор Снэйп]

Инт писал(а):

Цитата:

Доказательство истинно только для самого себя; оно не свидетельствует ни о чём, кроме наличия доказательств, а это ничего не доказывает.

Интересная философская позиция. Удобная.

Это не я, это Роберт Шекли

Роберт Шекли писал(а):

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИСКАЖЕННОМ МИРЕ

"...итак, благодаря уравнениям Римана-Хаке была, наконец, математически доказана теоретическая необходимость твистерманновой пространственной зоны логической деформации. Эта зона получила название Искаженного Мира, хотя на самом деле не искажена и миром не является. И наконец, по странной иронии судьбы, важнейшее третье определение Твистермана (относительно того, что Зону можно рассматривать как участок вселенной, работающий в качестве хаотического противовеса логической устойчивость первичной структуры) оказалось излишним".

Статья "Искаженный мир", "Галактическая Энциклопедия Универсальных Знаний", издание 483-е "...поэтому содержание (если не сущность) нашей мысли лучше всего передается термином "зеркальная деформация". В самом деле, как мы убедились, Искаженный Мир выполняет нужную, но отвратительную роль - привносит неопределенность во все явления и процессы, тем самым делая вселенную теоретически и практически самодовлеющей".

Из "Размышлений математика", Эдгар Хоуп Гриф, "Эвклид-Сити Фри Пресс" "Но, несмотря на все это, для потенциального самоубийцы, странствующего по Искаженному Миру, можно привести несколько чисто эмпирических правил.

Помни, что в Искаженном Мире все правила ложны, в том числе и правило, перечисляющее исключения, в том числе и наше определение, подтверждающее правило.

Но помни также, что не всякое правило обязательно ложно, что любое правило может быть истинным, в том числе данное правило и исключение из него.

В Искаженном Мире время не соответствует твоим представления о нем. События могут сменять друг друга быстро (это удобно), медленно (это приятно) или вообще не меняться (это противно).

Вполне возможно, что в Искаженном Мире с тобой совершенно ничего не случится. Рассчитывать на это неразумно, но столь же неразумно не быть готовым к этому.

Среди вероятностных миров, порождаемых Искаженным Миром, один в точности похож на наш мир; другой похож на наш мир во всем, кроме одной-единственной частности; третий похож на наш мир во всем, кроме двух частностей, и так далее. Подобным же образом один мир совершенно не похож на наш во всем, кроме одной-единственной частности, и так далее.

Труднее всего прогнозирование; как угадать, в каком ты мире, прежде чем Искаженный Мир не откроет тебе этого каким-нибудь бедствием?

В Искаженном Мире, как и во всяком другом, ты можешь найти самого себя. Но лишь в Искаженном Мире такая находка обычно оказывается роковой.

Привычное оборачивается потрясением.., в Искаженном Мире.

Искаженный Мир удобно (но неверно) представлять себе перевернутым миром Майи или миром иллюзии. Ты обнаружишь, что призраки вокруг тебя реальны, тогда как ты - воспринимающее их сознание - и есть иллюзия. Открытие поучительное, хотя и убийственное.

Некий мудрец однажды спросил: "Что будет, если я войду в Искаженный Мир, не имея предвзятых идей?" Дать точный ответ на такой вопрос невозможно, однако мы полагаем, что к тому времени, как мудрец оттуда выйдет, предвзятые идеи у него появятся. Отсутствие убеждений не самая надежная защита.

Некоторые считают высшим достижением интеллекта открытие, что решительно все можно вывернуть наизнанку и превратить в собственную противоположность. Исходя из такого допущения, можно поиграть по многие занятные игры; но мы не призываем вводить его в Искаженном Мире. Там все догмы одинаково произвольны, включая догму о произвольности догм.

Не надейся перехитрить Искаженный Мир. Он больше, меньше, длиннее и короче, чем ты. Он недоказуем. Он просто есть.

То, что уже есть, не требует доказательств. Все доказательства суть попытки чем-то стать. Доказательство истинно только для самого себя; оно не свидетельствует ни о чем, кроме наличия доказательств, а это ничего не доказывает.

То, что есть, невероятно, ибо все отчуждено, ненужно и грозит рассудку.

Возможно, эти замечания об Искаженном Мире не имеют ничего общего с Искаженным Миром. Но путешественник предупрежден".

Из другой книжки (любимое):

Роберт Шекли писал(а):

Я взорву ваши писклявые уловки мощным басом неопровержимой логики.

[ewert]

да, Шекли -- воистину крут. Он только притворялся, будто бы писал боевики. Жаль, что ушёл.

[Инт]

Someone писал(а):

Инт в сообщении #151736 писал(а):

Теорема о том, что счётное объединение счётных множеств счётно, не требует использования аксиомы выбора.

Будьте любезны привести полное доказательство в системе ZF (без аксиомы выбора).

Предъявляю ключевые рассуждения. Детали, если необходимо всегда можно уточнить.

Необходимо без привлечения аксиомы выбора в теории ZF доказать следующее утверждение: Пусть M – счётное множество, каждый элемент m которого – так же счётное множество. Пусть объединение всех элементов m из множества M есть множество U. Тогда множество U счётно.

Если прибегнуть к некоторому простому формальному выражению того, что означает, что «каждое множество m из M счётно», то утверждение формальной теории по этому поводу, т.е. утверждение теории ZF, может быть таким:

(А) «для каждого множества m из множества M существует биекция множества N на m»,

где N – натуральный ряд – множество, существование которого можно вывести без аксиомы выбора, через аксиому бесконечности.

Канторовское доказательство теоремы проводится так, что подразумевается явно или не явно, что каждому элементу m множества M конкретно сопоставлена некоторая индивидуальная, закреплённая за этим элементом функция f, отображающая N на m. В таком рассуждений используется содержательная очевидность, что если мы даём перечисление элементов из M через натуральные числа, то одновременно перечисляем через натуральные числа и функции f.

В формальной теории, ту идею, что за каждым множеством m закреплена биекция f множества N на m, можно выразить так:

(Б) «каждый элемент <m, f> множества M* таков, что f есть биекция N на m»,
<m, f> - упорядоченная пара, элемент множества M*, которое есть подмножество множества M x F, где F – множество функций, и M есть проекция множества M*.

Если «m* = паре <m, f>», то будем считать, что «m* = pr1(m*)», «f = pr2(m*)». Все выражения, взятые в кавычки вида «...», считаем выражениями ZF.

Рассматриваемую теорему, поэтому, выразим в форме:

Теорема. «Если h – биекция N на M*, и для каждого m* из M* f есть биекция N на m, где f = pr2(m*) и m = pr1(m*), то существует биекция N на U».

Сформулированная теорема, с одной стороны, есть теорема ZF, с другой стороны, она так же выражает содержательный смысл теоремы Кантора, подразумевая, что мы каким-то образом уже закрепили функции за соответствующими множествами. Если такого закрепления нет, то теряет смысл и сама теорема Кантора. В частности, формулу (А) всегда можно интерпретировать так, что никакого конкретного закрепления функций за множествами нет, т.е. есть некое общее множество биекций, могущее соответствовать множеству m, но конкретно никакого соответствия не предъявлено. Если это так, то и в теории Кантора невозможно провести требуемое доказательство. Причём, всегда можно интерпретировать рассуждения Кантора как использующие соответствие между множествами и функциями. Однако, у нас имеется часть множеств, например, множество всех конечных ординалов, т.е. N, некоторые конкретные множества счётных ординалов и т. п. для которых указанное соответствие между функциями и множествами достаточно тривиально. Мы можем, поэтому, выстраивать такого рода соответствие и для некоторых множеств, без использования аксиомы выбора, с использованием других аксиом. Но можем, в частности, выстроить обсуждаемое соответствие и используя аксиому выбора. От этого теорема не изменится.

Таким образом, одна и та же содержательная теорема может быть выражена в разных формах формальной теории. Или говоря по-другому: одна и та же формула формальной теории может выражать лишь часть смысла теоремы содержательной математики или близкий смысл теоремы.

Поскольку, сама теорема сформулирована, то для её доказательства достаточно воспользоваться известным отображением N на N x N, как отображением конкретных множеств, схемой аксиом подстановок, и расшифровкой того, что означает выражение «биекция множества X на Y».

Отмечу, что теорема имеет вид "если... , то..." и формула (Б) лишь участвует в посылке теоремы.

Теорема с посылкой (Б) доставляет нам реальное знание того, что происходит, когда какое-то множество счётно. Если мы рассмотрим множества, которые могут быть получены в ZFC без аксиомы выбора, то указанная теорема будет для них верна. Если рассмотрим множества, которые получаются в ZFC с использованием аксиомы выбора, то для них эта теорема будет так же верна. Другое дело, что для частных множеств, чтобы выполнить условие посылки, может потребоваться аксиома выбора. Таким образом, эта теорема доказуема без использования аксиомы выбора вообще для всех множеств.

Мои оппоненты всего лишь приводят пример доказательства, использующий аксиому выбора, но не более.

[Xaositect]

Это аксиома выбора

Инт в сообщении #153925 писал(а):

(Б) «каждый элемент <m, f> некоторого множества M* таков, что f есть биекция N на m»,
<m, f> - упорядоченная пара, т.е. элемент множества M* = M x F, где F – множество функций.

Это есть результат применения аксиомы выбора к утверждению (А), то есть Ваше доказательство использует аксиому выбора.

Инт в сообщении #153925 писал(а):

Если такого закрепления нет, то теряет смысл и сама теорема Кантора. В частности, формулу (А) всегда можно интерпретировать так, что никакого конкретного закрепления функций за множествами нет, т.е. есть некое общее множество биекций, могущее соответствовать множеству m, но конкретно никакого соответствия не предъявлено. Если это так, то и в теории Кантора невозможно провести требуемое доказательство.

Именно! И это происходит именно потому, что это доказательство использует аксиому выбора. Без аксиомы выбора оно не является доказательством.
Вы обладаете очень интересной особенностью делать из правильных вещей выводы, которые прямо им противоречат

Модель ZF, в которой утверждение теоремы не выполняется, как я уже говорил, можно посмотреть у Коэна, но для ее понимания Вам нужно будет еще многое прочитать и понять.

[Инт]

Xaositect писал(а):

Это аксиома выбора

Инт в сообщении #153925 писал(а):

(Б) «каждый элемент <m, f> некоторого множества M* таков, что f есть биекция N на m»,
<m, f> - упорядоченная пара, т.е. элемент множества M* = M x F, где F – множество функций.

Это есть результат применения аксиомы выбора к утверждению (А), то есть Ваше доказательство использует аксиому выбора.

Инт в сообщении #153925 писал(а):

Если такого закрепления нет, то теряет смысл и сама теорема Кантора. В частности, формулу (А) всегда можно интерпретировать так, что никакого конкретного закрепления функций за множествами нет, т.е. есть некое общее множество биекций, могущее соответствовать множеству m, но конкретно никакого соответствия не предъявлено. Если это так, то и в теории Кантора невозможно провести требуемое доказательство.

Именно! И это происходит именно потому, что это доказательство использует аксиому выбора. Без аксиомы выбора оно не является доказательством.
Вы обладаете очень интересной особенностью делать из правильных вещей выводы, которые прямо им противоречат

Модель ZF, в которой утверждение теоремы не выполняется, как я уже говорил, можно посмотреть у Коэна, но для ее понимания Вам нужно будет еще многое прочитать и понять.

Указанная вами формула Б не является аксиомой выбора, а является всего лишь условием в посылке той формальной теоремы ZF, которую я сформулировал как эквивалент канторовской содержательной теоремы. Теорема имеет форму "если ..., то ..." Иными словами, Б не используется как аксиома, а используется как предположение, из которого и делается вывод!

Что же касается Вашего снисходительного замечания, то Вы снова делаете замечание, которое может быть не понятно участникам форума, которые не разбираются глубоко в теории множеств, но следят за темой. А это замечание не имеет к делу отношения вообще, так как по Коэну - отдельный разговор. Точно знаю, что касаемо его темы Вы знаете меньше меня, и лишь не в меру самоуверены.

Прочтите ещё раз мой текст. Обдумайте хотя бы день.

[Xaositect]

Инт в сообщении #153959 писал(а):

Указанная вами формула Б не является аксиомой выбора, а является всего лишь условием в посылке той формальной теоремы ZF, которую я сформулировал как эквивалент канторовской содержательной теоремы. Теорема имеет форму "если ..., то ..." Иными словами, Б не используется как аксиома, а используется как предположение, из которого и делается вывод!

А как же утверждение (А)?

[Инт]

Xaositect писал(а):

А как же утверждение (А)?

Утверждение А действительно является некоторым утверждением формальной теории, формулой, которая приводится как альтернативная некоторому другому пониманию содержательного утверждения, что «каждое множество m счётно».

Кроме того, всегда легко привести пример конкретных множеств, где указанное в Б соответствие доказуемо без использования аксиомы выбора.

[Someone]

Инт в сообщении #153925 писал(а):

Необходимо без привлечения аксиомы выбора в теории ZF доказать следующее утверждение: Пусть M – счётное множество, каждый элемент m которого – так же счётное множество. Пусть объединение всех элементов m из множества M есть множество U. Тогда множество U счётно.

Да.

Инт в сообщении #153925 писал(а):

Если прибегнуть к некоторому простому формальному выражению того, что означает, что «каждое множество m счётно», то утверждение формальной теории по этому поводу, т.е. утверждение теории ZF, может быть таким:

(А) «для каждого множества m из множества M существует биекция множества N на m»,

где N – натуральный ряд

Да, именно так - согласно определению счётного множества.

Инт в сообщении #153925 писал(а):

Канторовское доказательство теоремы проводится так, что подразумевается явно или не явно, что каждому элементу m множества M конкретно сопоставлена некоторая индивидуальная, закреплённая за этим элементом функция f, отображающая N на m. В таком рассуждений используется содержательная очевидность, что если мы даём перечисление элементов из M через натуральные числа, то одновременно перечисляем через натуральные числа и функции f.

Осталось только убедить в это весь мир. Ручаюсь, что никто из современных специалистов с этим не согласится. Дело в том, что эта идея не новая, ей уже лет сто, и её автору (не помню, к сожалению, кто это был) не удалось убедить остальных в своей правоте, что совершенно неудивительно: определение счётного множества только утверждает существование биекции, но никаким способом её не фиксирует и к множеству не прикрепляет.

Анализировать рассуждения доаксиоматического периода с целью убедить кого-либо сейчас, что формальное определение счётного множества всем миром понимается неправильно, совершенно несерьёзно, тем более, что Кантор вообще не доказывает обсуждаемую теорему, считая её самоочевидной*), а его определение счётного множества совпадает с современным.

*) Может быть, я не нашёл доказательство в его трудах? Тогда, будьте любезны, дайте точную ссылку.

Инт в сообщении #153959 писал(а):

Что же касается Вашего снисходительного замечания, то Вы снова делаете замечание, которое может быть не понятно участникам форума, которые не разбираются глубоко в теории множеств, но следят за темой. А это замечание не имеет к делу отношения вообще, так как по Коэну - отдельный разговор.

"По Коэну" или "не по Коэну", а замечание это имеет непосредственное отношение к обсуждаемому вопросу. Существование модели ZF, в которой континуум является объединением счётного множества счётных множеств, ставит крест на любых попытках обойтись в обсуждаемой теореме без аксиомы выбора.

То обстоятельство, что из счётности объединения счётного множества счётных множеств легко вывести частные случаи аксиомы выбора, также означает, что обойтись совсем без этой аксиомы нельзя.

Инт в сообщении #153971 писал(а):

Кроме того, всегда легко привести пример конкретных множеств, где указанное в Б соответствие доказуемо без использования аксиомы выбора.

Примеры ничего не доказывают.

Инт в сообщении #153959 писал(а):

Точно знаю, что касаемо его темы Вы знаете меньше меня, и лишь не в меру самоуверены.

Вы ведёте себя некорректно. Очевидно, что обсуждаемый здесь вопрос Xaositect понимает лучше Вас. С теоремой Гёделя Вы тоже проврались, поскольку усиленно путаете теорию и метатеорию, несмотря на торжественные уверения в обратном. Заверяю Вас, что Вы здесь не первый такой путаник, причём, предыдущий был гораздо интереснее.

[Xaositect]

Someone в сообщении #154037 писал(а):

Осталось только убедить в это весь мир. Ручаюсь, что никто из современных специалистов с этим не согласится. Дело в том, что эта идея не новая, ей уже лет сто, и её автору (не помню, к сожалению, кто это был) не удалось убедить остальных в своей правоте, что совершенно неудивительно: определение счётного множества только утверждает существование биекции, но никаким способом её не фиксирует и к множеству не прикрепляет.

Брауэр это был, если речь об интуиционизме.

[Someone]

Xaositect в сообщении #154101 писал(а):

Брауэр это был, если речь об интуиционизме.

Нет, не об интуиционизме.

[Инт]

Someone писал(а):

Инт в сообщении #153925 писал(а):

Если прибегнуть к некоторому простому формальному выражению того, что означает, что «каждое множество m счётно», то утверждение формальной теории по этому поводу, т.е. утверждение теории ZF, может быть таким:

(А) «для каждого множества m из множества M существует биекция множества N на m»,

где N – натуральный ряд

Да, именно так - согласно определению счётного множества.

Но кроме того, именно в формальной теории, можно привести альтернативное формальное утверждение, которое так же содержательно выражает ту же идею, т.е., содержательную идею, что "каждое множество m из совокупности M счётно":

(Б) «каждый элемент <m, f> множества M* таков, что f есть биекция N на m»,
<m, f> - упорядоченная пара, элемент множества M*, которое есть подмножество множества M x F, где F – множество функций, и M есть проекция множества M*.

Указанная формула существует в ZF вне зависимости от Ваших пожеланий.

Добавлено спустя 24 минуты 45 секунд:

Someone писал(а):

Инт в сообщении #153925 писал(а):

Канторовское доказательство теоремы проводится так, что подразумевается явно или не явно, что каждому элементу m множества M конкретно сопоставлена некоторая индивидуальная, закреплённая за этим элементом функция f, отображающая N на m. В таком рассуждений используется содержательная очевидность, что если мы даём перечисление элементов из M через натуральные числа, то одновременно перечисляем через натуральные числа и функции f.

Осталось только убедить в это весь мир. Ручаюсь, что никто из современных специалистов с этим не согласится. Дело в том, что эта идея не новая, ей уже лет сто, и её автору (не помню, к сожалению, кто это был) не удалось убедить остальных в своей правоте, что совершенно неудивительно: определение счётного множества только утверждает существование биекции, но никаким способом её не фиксирует и к множеству не прикрепляет.

Приведённое мною рассуждение насчёт скрепления множеств и функций есть некоторое предварительное содержательное рассуждение. Полностью оно формализуется в формуле (Б) и в формулировке теоремы, которая так же является утверждением ZF. Таким образом, предъявляется как факт некоторая формула ZF, вне зависимости убеждён кто-либо в этом или нет. Мною отмечалось уже, что обычное определение счётного множества, т.е. формулу (А) можно интепретировать не только как "каждое множество m из M счётно", но и прямо, т.е. как утверждение о том, что "для каждого множества m из M в множестве функций существует некоторая биекция N на m, но конкретная биекция множеству m не сопоставлена, не закреплена за ним". Формулу (Б), как формулу ZF, можно всегда содержательно интерпретировать так, что "для каждого множества m из M в множестве функций существует некоторая биекция N на m, закреплённая за m, сопоставленая множеству m", что так же выражает содержательное утверждение, что "кажое множество m из M счётно".

Добавлено спустя 18 минут 17 секунд:

Someone писал(а):

*) Может быть, я не нашёл доказательство в его трудах? Тогда, будьте любезны, дайте точную ссылку.

Инт в сообщении #153959 писал(а):

А это замечание не имеет к делу отношения вообще, так как по Коэну - отдельный разговор.

"По Коэну" или "не по Коэну", а замечание это имеет непосредственное отношение к обсуждаемому вопросу. Существование модели ZF, в которой континуум является объединением счётного множества счётных множеств, ставит крест на любых попытках обойтись в обсуждаемой теореме без аксиомы выбора.

То обстоятельство, что из счётности объединения счётного множества счётных множеств легко вывести частные случаи аксиомы выбора, также означает, что обойтись совсем без этой аксиомы нельзя...

Примеры ничего не доказывают.

Я уже отмечал, что формулировка теоремы строится в форме "если..., то...". Посылка в условии теоремы может быть сформулирована без использования аксиомы выбора. Этого достаточно уже для формулировки и доказательства теоремы. Что же касается примеров, то имелось ввиду, что можно выполнить посылку в частных случаях без использования аксиомы выбора, и таким образом, приводятся примеры множеств, для которых истинность (Б) легко устанавливается. Из этих конкретных множеств можно строить новые множества без аксиомы выбора и, тем самым, можно доказать теорему для всех таких множеств, т.е. для тех, за которыми можно закрепить соответствующую биекцию.

Канторовское доказательство, я не буду для Вас искать. Замечание моё обращает внимание на то, что вместо того, чтобы рассматривать моё доказательство по-существу, оппонент делает ссылку в сторону, а не приводит своё рассуждение. Например, он мог бы попытаться доказать, что сформулированные мною формулы и теоремы не выразимы в ZF, но этого не делается.

Ссылки на Коэна или на тему Гёделя здесь вообще не допустимы. Так, никто из Вас не предъявил ясных аргументов, которые бы доказывали теорему Гёделя. Считаю, что мы должны обсуждать другие темы в других местах.

Добавлено спустя 4 минуты 47 секунд:

Someone писал(а):

Вы ведёте себя некорректно. Очевидно, что обсуждаемый здесь вопрос Xaositect понимает лучше Вас. С теоремой Гёделя Вы тоже проврались, поскольку усиленно путаете теорию и метатеорию, несмотря на торжественные уверения в обратном. Заверяю Вас, что Вы здесь не первый такой путаник, причём, предыдущий был гораздо интереснее.

Не приписывайте мне того, чего нет. Я не путаю теорию и метатеорию. Ваше высказывание - дешёвый приём, расчитанный на публику. Прочтите тему по Гёделю. Эпитеты же я сам могу раздать, если нужно, но мы в них скоро запутаемся.

[epros]

Инт писал(а):

Прочтите тему по Гёделю.

Звучит как: "Прочтите труды основоположников Марксизма-Ленинизма".

Извиняюсь за офтоп.

[вздымщик Цыпа]

Профессор Снэйп в сообщении #152431 писал(а):

Когда Вы говорите "$k$-му элементу множества $U_i$", то тем самым подразумеваете, что все множества $U_i$ занумерованы неким "равномерным" образом. То есть что для любого $i \in \mathbb{N}$ выбрана функция $u_i : \mathbb{N} \to U_i$, такая что $U_i = \{ u_i(1), \ldots, u_i(k), \ldots \}$.

Вот что интересно, а возможно ли на практике такое применение этого построения, когда действительно необходимо задействовать аксиому выбора? Ведь если у нас организовалось это множество $\{U_i\}$, то мы же не с потолка его взяли, а как минимум, доказали счетность всех его элементов, а тем самым для каждого элемента уже построили нумерацию и потому нам незачем выбирать их из множества возможных, поскольку они уже все есть.

[Someone]

Инт в сообщении #154415 писал(а):

Но кроме того, именно в формальной теории, можно привести альтернативное формальное утверждение, которое так же содержательно выражает ту же идею, т.е., содержательную идею, что "каждое множество m из совокупности M счётно":

Постарайтесь всё-таки понять, что это две разные теоремы. В одной задано только счётное множество счётных множеств, а в другой, кроме этого, заданы ещё и биекции натурального ряда на эти множества. Вам, может быть, очень хочется, чтобы это было одно и то же, но это не одно и то же, поскольку количество информации о множествах разное. Аксиома выбора позволяет восполнить недостающую информацию, но без аксиомы выбора может оказаться, что взять её неоткуда, если уж она не задана.

вздымщик Цыпа в сообщении #158142 писал(а):

Ведь если у нас организовалось это множество $\{U_i\}$, то мы же не с потолка его взяли, а как минимум, доказали счетность всех его элементов, а тем самым для каждого элемента уже построили нумерацию и потому нам незачем выбирать их из множества возможных, поскольку они уже все есть.

Формально в теореме о счётности объединения счётного множества счётных множеств никакой предыстории не предполагается. Предыстория - это опять же дополнительная информация.
Вообще, можно очень долго заниматься казуистикой на этот счёт. Факт состоит в том, что без аксиомы выбора может случиться так, что множество действительных чисел окажется объединением счётного множества счётных множеств, а это означает, что без какого-то ограниченного варианта аксиомы выбора доказать обсуждаемую теорему нельзя.