Неэквивалентность метрик

[YuryS]

Dan B-Yallay в сообщении #1533088 писал(а):

Можно ли узнать источник данного определения?

http://www.math.buffalo.edu/~badzioch/M ... anks_3.pdf -
см. там первое же Определение 3.1, и далее, Пример 3.4 и есть источник моего вопроса, где он предлагается в качестве упражнения.

[g______d]

А, ну на самом деле проще. Если две метрики топологически эквивалентны, то каждая из них должна быть непрерывной функцией по каждой переменной относительно другой метрики. В данном случае это проще опровергнуть и даже упоминалось. Я доказывал более сильное утверждение (негомеоморфность пространств).

[YuryS]

g______d в сообщении #1533109 писал(а):

Доказывать не-эквивалентность, на мой взгляд, проще всего с использованием связности

Наверное, Вы правы, но я откладывал этот путь в третью очередь - см. последний абзац моего первого сообщения.
Интересует вопрос - можно ли это сделать элементарными средствами ...
И если - да, то из-за чего возникают на этом пути такие трудности ...

[g______d]

YuryS в сообщении #1533115 писал(а):

Наверное, Вы правы

Нет, всё-таки можно проще, см. предыдущее сообщение.

[demolishka]

g______d в сообщении #1533109 писал(а):

Доказывать не-эквивалентность

можно еще проще: в hub-метрике всякая ненулевая точка есть открытое множество.

[g______d]

demolishka в сообщении #1533127 писал(а):

еще проще

Согласен.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

YuryS
Если хочется "в лоб, по определению" то можно рассмотреть следующее геометричекое соображение:
Пусть $x = (1,0) \in \mathbb R^2, \ r = 2$

Вложение:

hub.jpg [ 29.99 Кб | Просмотров: 461 ]

Окрестность радуса 2 точки $x$ в хаб-метрике -- это диск, окрашенный голубым ($B_h(x,2)$), а в Евклидовой - зелёным ($B_e(x,2)$).
Соответственно, по данному в вашем файле определению эквивалентности метрик, есть такое число $s > 0$ что

$$B_e(x,s) \subseteq B_h(x,2)$$

.

Навряд ли можно положительным числом стянуть зелёный круг (сохраняя центр в точке $(1,0)$) внутрь синего.
Выражать это аналитически я не стал.