Неэквивалентность метрик

[YuryS]

Добрый день !

Пусть даны две метрики в $\mathbb{R}^2$:
1) евклидова $e(x,y)=\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}$ и
2) $h(x,y)=\sqrt{x_1^2 + x_2^2} + \sqrt{y_1^2 + y_2^2}$, так называемая hub-метрика,
где $x=(x_1,x_2)$ и $y=(y_1,y_2)$.
Задача - доказать их неэквивалентность.

В первую очередь, можно ли прямым образом доказать невозможность выполнения условия
$\forall x \in \mathbb{R} \forall r > 0$ существует $s > 0$ такое, что $N_h(x,s) \subseteq N_e (x,r)$
или двойственного к нему, где $N_m(x,r)$ есть окрестность точки $x$ радиуса $r$ в метрике $m$?
Я пытался это сделать в предположении конкретных $x=(1,1)$ и $r=\sqrt{2}$, но доказать невыполнимость условия не смог.

Пытался также, эквивалентно, доказать невыполнимость условия
$\forall x,y \in \mathbb{R}$ существуют $A,B>0$ такие, что
$A h(x,y) \leqslant e(x,y) \leqslant B h(x,y)$, или двойственное к нему, но также не преуспел ...

В чем тут фишка этих доказательств ?
Есть еще характеризация эквивалентности метрик через открытые множества,
но, в первую очередь, хотелось бы получить прямые доказательства указанной неэквивалентности.

[Padawan]

YuryS в сообщении #1532949 писал(а):

2) $h(x,y)=\sqrt{x_1^2 + x_2^2} + \sqrt{y_1^2 + y_2^2}$, так называемая hub-метрика,

А это точно метрика? Проверьте аксиомы.

[YuryS]

Padawan в сообщении #1532955 писал(а):

это точно метрика? Проверьте аксиомы.

Но $h(x,y)$ есть же просто сумма длин векторов $x$ и $y$, а потому неравенство треугольника, которое нужно проверить
$h(x,z) \leqslant h(x,y) + h(y,z)$
сводится к
$l(x) + l(z) \leqslant l(x) + l(y) + l(y) + l(z)$,
истинность которого очевидна.

[Dan B-Yallay]

YuryS в сообщении #1532949 писал(а):

Пытался также, эквивалентно, доказать невыполнимость условия
$\forall x,y \in \mathbb{R}$ существуют $A,B>0$ такие, что
$A h(x,y) \leqslant e(x,y) \leqslant B h(x,y)$, или двойственное к нему, но также не преуспел ...

Во первых, приведённое определение эквивалентности метрик неверное: сначала идут константы $\exists A,B > 0 $, такие что $\forall x,y \in \mathbb R^2...$
Во вторых рассмотрите две точки на единичной окружности с центром в начале координат. Затем начните их сближать. Что происходит с евклидовым расстоянием и hub-distance?

[Mikhail_K]

YuryS в сообщении #1532963 писал(а):

а потому неравенство треугольника, которое нужно проверить

А каким определением метрики Вы пользуетесь? Вообще-то, неравенства треугольника недостаточно, чтобы считать функцию $h(x,y)$ метрикой.

[Евгений Машеров]

Первая метрика, вторая...
$h(x,x)\ne 0$ при $x\ne 0$

[YuryS]

Евгений Машеров в сообщении #1532969 писал(а):

Первая метрика, вторая...
$h(x,x)\ne 0$ при $x\ne 0$

Да, прошу прощения, забыл вставить базовое условие для функции $h$:
$h(x,x)=0$
(привык считать это условие само собой разумеющимся, что не понял поначалу и вопроса - метрика ли это?).
Поэтому поставленные вопросы остаются в силе ...

[Someone]

YuryS в сообщении #1533024 писал(а):

Да, прошу прощения, забыл вставить базовое условие для функции $h$:
$h(x,x)=0$
(привык считать это условие само собой разумеющимся, что не понял поначалу и вопроса - метрика ли это?).
Поэтому поставленные вопросы остаются в силе ...

А что, ваше $h$ этому "базовому условию" удовлетворяет?

[YuryS]

Someone в сообщении #1533025 писал(а):

YuryS в сообщении #1533024 писал(а):

Да, прошу прощения, забыл вставить базовое условие для функции $h$:
$h(x,x)=0$
(привык считать это условие само собой разумеющимся, что не понял поначалу и вопроса - метрика ли это?).
Поэтому поставленные вопросы остаются в силе ...

А что, ваше $h$ этому "базовому условию" удовлетворяет?

Определение $h$ состоит из двух условий - базового $h(x,x)= 0$ и формулы, показанной выше.

[Someone]

YuryS в сообщении #1533026 писал(а):

Определение $h$ состоит из двух условий - базового $h(x,x)= 0$ и формулы, показанной выше.

А, Вы же не сподобились аккуратно сформулировать определение функции $h$…

Замечание. Существуют два разных понятия эквивалентности метрик.
1) Метрики $d$ и $\rho$ на одном и том же множестве $X$ называются топологически эквивалентными, если они порождают на множестве $X$ одну и ту же топологию.
2) Метрики $d$ и $\rho$ на одном и том же множестве $X$ называются сильно (или строго) эквивалентными, если существуют такие числа $A>0$ и $B>0$, что для всех $x\in X$ и $y\in X$ выполняются неравенства $Ad(x,y)\leqslant\rho(x,y)\leqslant Bd(x,y)$.

[YuryS]

Someone в сообщении #1533032 писал(а):

Существуют два разных понятия эквивалентности метрик.

Есть еще одно определение эквивалентности метрик
(ничего не говорю о его соотношении с определениями, указанными Вами):
Если $d$ и $\rho$ являются метриками, определенными на одном и том же множестве $X$, то они называются эквивалентными, если
$\forall x \in X$ и $\forall r>0$ существуют $s_1,s_2 > 0$ такие что
$N_d(x,s_1) \subseteq N_\rho(x,r)$ и
$N_\rho(x,s_2) \subseteq N_d(x,r)$,
где $N_m(x,r) $ есть окрестность с центром $x$ и радиусом $r$ в метрике $m$.
Именно согласно этого определения и интересует , в первую очередь, доказательство неэквивалентности метрик $d$ и $h$.

[Евгений Машеров]

YuryS в сообщении #1533026 писал(а):

Определение $h$ состоит из двух условий - базового $h(x,x)= 0$ и формулы, показанной выше.

То есть при $x\ne y$ считаем по формуле, а если вдруг оказались равны, принимаем 0? То есть $h(x,y)$ разрывная?

[YuryS]

Евгений Машеров в сообщении #1533079 писал(а):

То есть при $x\ne y$ считаем по формуле, а если вдруг оказались равны, принимаем 0? То есть $h(x,y)$ разрывная?

Ну да. А разве общеизвестная дискретная метрика не является разрывной ?
Hub-метрика есть метрика из целого семейства метрик, которые называются "British Rail Metric" или "hub and spoke metric" или "Memphis metric", см. https://tslil.xyz/301/script1.pdf, Example 10.

[Dan B-Yallay]

YuryS в сообщении #1533040 писал(а):

$\forall x \in X$ и $\forall r>0$ существуют $s_1,s_2 > 0$ такие что
$N_d(x,s_1) \subseteq N_\rho(x,r)$ и
$N_\rho(x,s_2) \subseteq N_d(x,r)$,
где $N_m(x,r) $ есть окрестность с центром $x$ и радиусом $r$ в метрике $m$.

Можно ли узнать источник данного определения?

Что-то мне подсказывает, что там опять не всё корректно. Наверное существование констант $s_1, \ s_2$ должно быть заявлено до того, как выбирается произвольный $x \in X$
Если я прав, то похоже, оно равносильно определению 2) сильной эквивалентности, данной Someone

[g______d]

YuryS в сообщении #1533040 писал(а):

Именно согласно этого определения и интересует , в первую очередь, доказательство неэквивалентности метрик $d$ и $h$.

Это определение равносильно топологической эквивалентности. Несложно проверить по определению, если вспомнить, как определяется открытое множество в метрическом пространстве и что значит "задают одну топологию".

Доказывать не-эквивалентность, на мой взгляд, проще всего с использованием связности: если выкинуть из $\mathbb R^2$ с евклидовой метрикой любую точку, оно останется связным. Понятие связности использует только топологию, поэтому любая другая топологически эквивалентная метрика на $\mathbb R^2$ будет обладать тем же свойством. Осталось проверить, выполняется ли оно для топологии, задаваемой hub-метрикой.