Уравнение Лиувилля

[Shai-Hulud]

Рассмотрим $N$ нерелятивистких ионов, массой $m$ в постоянном внешнем магнитном поле $\vec{B}$ с векторным потенциалом $\vec{A}$.
Будем использовать векторные обозначения для обобщенных координат $\vec{q}_k={q_{k,1},q_{k,2},q_{k,3}}$ и $\vec{p}_k={p_{k,1},p_{k,2},p_{k,3}}$, так что индекс $k$ обозначает номер частицы. Уравнение Лиувилля в обобщенных координатах $\vec{q}_k$ и $\vec{p}_k$:

$\frac{\partial f}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{N}\dot{\vec{q}}_k\frac{\partial f}{\partial \vec{q}_k}+\sum\limits_{k=1}^{N}\dot{\vec{p}}_k\frac{\partial f}{\partial \vec{p}_k}=0, \qquad(1)$

где $\dot{\vec{q}}_k$ и $\dot{\vec{p}}_k$ определяются согласно уравнениям Гамильтона:

$\dot{\vec{q}}_k=\frac{\partial H}{\partial \vec{p}_k};\qquad (2)$
$\dot{\vec{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial \vec{q}_k}.\qquad (3)$

Функция Гамильтона для рассматриваемой задачи:

$H=\frac{1}{2m}\sum\limits_{k=1}^{N}[\vec{p}_k-e\vec{A}(\vec{q}_k)]^2.$

Выбрав в качестве обобщенных координат Декартовы координаты: $\vec{q}_k=\vec{r}_k=x_k,y_k,z_k$, мы должны получить уравнение Лиувилля в виде:

$\frac{\partial f}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{N}\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial f}{\partial \vec{r}_k}+\frac{e}{m}\sum\limits_{k=1}^{N}(\dot{\vec{r}}_k\times\vec{B})\frac{\partial f}{\partial \dot{\vec{r}}_k}=0.\qquad (4)$

У меня не получается перейти от уравнения (1) к уравнению (4). Вот ход моих рассуждений:
Используя (2) найдем $\vec{p}_k = m\dot{\vec{r}}_k+e\vec{A}; \qquad (5)$
Далее из (3) и (5) находим

$\dot{p}_{xk} =e \dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial \vec{x}_k};$

$\dot{p}_{yk} =e \dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial \vec{y}_k};$

$\dot{p}_{zk} =e \dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial \vec{z}_k};$

Получаем уравнение Лиувилля в виде:

${\frac{\partial f}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{N}\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial f}{\partial \vec{r}_k}+e\sum\limits_{k=1}^{N}(\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial x_k}\frac{\partial f}{\partial (m\dot{x}_k+eA_x)}+\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial y_k}\frac{\partial f}{\partial (m\dot{y}_k+eA_y)}+\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial z_k}\frac{\partial f}{\partial (m\dot{z}_k+eA_z)})=0}.$

Как можно преобразовать производные $\frac{\partial f}{\partial (m\dot{x}_k+eA_x)}$; $\frac{\partial f}{\partial (m\dot{y}_k+eA_y)}$, $\frac{\partial f}{\partial (m\dot{z}_k+eA_z)}$ чтобы получить уравнение (4)? Или, пожалуйста подскажите какой-нибудь другой способ получить уравнение (4) из уравнения(1). Буду благодарен если посоветуете литературу, в которой эта или подобная задача рассмотрена.

[lel0lel]

Раскрыть в гамильтониане квадрат суммы, пренебречь квадратичным по полю слагаемым, записать вектор потенциал для однородного магнитного поля, появится смешанное векторное произведение, в нём поменять порядок. Далее можно записать уравнение Гамильтона-Якоби.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- поправьте отдельные обозначения, набрав их как формулы (чтобы они и выглядели так, как в формулах).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»