2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 НеВывод уравнения Мещерского
Сообщение26.09.2021, 01:56 


25/07/19
19
Здравствуйте!
Мне хотелось бы получить уравнение Мещерского, дифференцируя условие постоянства центра масс системы
ракета $+$ топливо, но в итоге получается какое-то другое уравнение...

Итак, ракета перемещается прямолинейно в открытом космосе далеко от притягивающих масс:
$m_\text{р}$ - масса ракеты без топлива,
$x_\text{р}$ - координата ц.м. ракеты без топлива,
$m_\text{ост}$ - масса топлива, оставшегося в ракете на данный момент времени,
$x_\text{ост}$ - координата ц.м. оставшегося топлива,
$m_\text{выл}$ - масса топлива, вылетевшего из ракеты на данный момент времени,
$x_\text{выл}$ - координата ц.м. вылетевшего топлива,
$m_\text{т} = m_\text{ост} + m_\text{выл}$ - масса всего топлива,
$\dot{m_\text{т}} = \dot{m_\text{ост}} + \dot{m_\text{выл}} = 0$,

$$ \frac{ m_\text{р} x_\text{р} + m_\text{ост} x_\text{ост} + m_\text{выл} x_\text{выл} }{ m_\text{р} + m_\text{ост} + m_\text{выл} } = X $$

Система замкнута, центр масс двигаться не будет, поэтому положим $X = 0$,

$m_\text{выл} = m_\text{т} - m_\text{ост}$

$x_\text{ост} = x_\text{р}$

Тогда, $$ (m_\text{р} + m_\text{ост})x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) x_\text{выл} = 0$$

Дифференцируем,

$$ (m_\text{р} + m_\text{ост})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) \dot{x_\text{выл}} - \dot{m_\text{ост}} x_\text{выл} = 0 $$

Теперь введем $\omega$ - проекция относительной скорости топлива на ось $X$. Тогда $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$

$$ (m_\text{р} + m_\text{ост})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) (\dot{x_\text{р}} + \omega) - \dot{m_\text{ост}} x_\text{выл} = 0 $$

$$ (m_\text{р} + m_\text{т})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}(x_\text{р}-x_\text{выл})+\omega (m_\text{т}-m_\text{ост}) = 0$$

Дифференцируем, сразу подставил $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$

$$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+(x_\text{р}-x_\text{выл})\ddot{m_\text{ост}}+\dot{m_\text{ост}}(\dot{x_\text{р}}-\dot{x_\text{р}}-\omega)-\dot{m_\text{ост}\omega} = 0 $$

$$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+\ddot{m_\text{ост}}(x_\text{р}-x_\text{выл})-2\dot{m_\text{ост}}\omega = 0$$

Сюда подставляем $$ x_\text{выл} = -\frac{m_\text{р}+m_\text{ост}}{m_\text{т}-m_\text{ост}} x_\text{р}$$

Итоговое уравнение: $$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+\frac{m_\text{т}+m_\text{р}}{m_\text{т}-m_\text{ост}}\ddot{m_\text{ост}}x_\text{р}-2\dot{m_\text{ост}}\omega = 0 $$

А должно быть такое: $M(t)\dot{v} = \omega \dot{M(t)}$. В моих обозначениях это было бы:

$$ (m_\text{р}+m_\text{ост})\ddot{x_\text{р}} = \omega\dot{m_\text{ост}} $$

Подскажите, пожалуйста, где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: НеВывод уравнения Мещерского
Сообщение26.09.2021, 02:27 


20/04/10
1230
Русь
Здесь
ValfennayaVaflaya в сообщении #1532766 писал(а):
Тогда $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$
Это скорость вылетающего топлива, но не всего вылетевшего.

 Профиль  
                  
 
 Re: НеВывод уравнения Мещерского
Сообщение26.09.2021, 02:33 


25/07/19
19
Да, точно, спасибо. А можно этим путем дойти все-таки до правильного уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: НеВывод уравнения Мещерского
Сообщение26.09.2021, 02:37 


20/04/10
1230
Русь
Думаю, можно, но это не будет проще чем через изменение импульса.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group