НеВывод уравнения Мещерского

[ValfennayaVaflaya]

Здравствуйте!
Мне хотелось бы получить уравнение Мещерского, дифференцируя условие постоянства центра масс системы
ракета $+$ топливо, но в итоге получается какое-то другое уравнение...

Итак, ракета перемещается прямолинейно в открытом космосе далеко от притягивающих масс:
$m_\text{р}$ - масса ракеты без топлива,
$x_\text{р}$ - координата ц.м. ракеты без топлива,
$m_\text{ост}$ - масса топлива, оставшегося в ракете на данный момент времени,
$x_\text{ост}$ - координата ц.м. оставшегося топлива,
$m_\text{выл}$ - масса топлива, вылетевшего из ракеты на данный момент времени,
$x_\text{выл}$ - координата ц.м. вылетевшего топлива,
$m_\text{т} = m_\text{ост} + m_\text{выл}$ - масса всего топлива,
$\dot{m_\text{т}} = \dot{m_\text{ост}} + \dot{m_\text{выл}} = 0$,

$$ \frac{ m_\text{р} x_\text{р} + m_\text{ост} x_\text{ост} + m_\text{выл} x_\text{выл} }{ m_\text{р} + m_\text{ост} + m_\text{выл} } = X $$

Система замкнута, центр масс двигаться не будет, поэтому положим $X = 0$,

$m_\text{выл} = m_\text{т} - m_\text{ост}$

$x_\text{ост} = x_\text{р}$

Тогда,

$$ (m_\text{р} + m_\text{ост})x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) x_\text{выл} = 0$$

Дифференцируем,

$$ (m_\text{р} + m_\text{ост})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) \dot{x_\text{выл}} - \dot{m_\text{ост}} x_\text{выл} = 0 $$

Теперь введем $\omega$ - проекция относительной скорости топлива на ось $X$. Тогда $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$

$$ (m_\text{р} + m_\text{ост})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) (\dot{x_\text{р}} + \omega) - \dot{m_\text{ост}} x_\text{выл} = 0 $$

$$ (m_\text{р} + m_\text{т})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}(x_\text{р}-x_\text{выл})+\omega (m_\text{т}-m_\text{ост}) = 0$$

Дифференцируем, сразу подставил $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$

$$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+(x_\text{р}-x_\text{выл})\ddot{m_\text{ост}}+\dot{m_\text{ост}}(\dot{x_\text{р}}-\dot{x_\text{р}}-\omega)-\dot{m_\text{ост}\omega} = 0 $$

$$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+\ddot{m_\text{ост}}(x_\text{р}-x_\text{выл})-2\dot{m_\text{ост}}\omega = 0$$

Сюда подставляем

$$ x_\text{выл} = -\frac{m_\text{р}+m_\text{ост}}{m_\text{т}-m_\text{ост}} x_\text{р}$$

Итоговое уравнение:

$$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+\frac{m_\text{т}+m_\text{р}}{m_\text{т}-m_\text{ост}}\ddot{m_\text{ост}}x_\text{р}-2\dot{m_\text{ост}}\omega = 0 $$

А должно быть такое: $M(t)\dot{v} = \omega \dot{M(t)}$. В моих обозначениях это было бы:

$$ (m_\text{р}+m_\text{ост})\ddot{x_\text{р}} = \omega\dot{m_\text{ост}} $$

Подскажите, пожалуйста, где ошибка?

[lel0lel]

Здесь

ValfennayaVaflaya в сообщении #1532766 писал(а):

Тогда $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$

Это скорость вылетающего топлива, но не всего вылетевшего.

[ValfennayaVaflaya]

Да, точно, спасибо. А можно этим путем дойти все-таки до правильного уравнения?

[lel0lel]

Думаю, можно, но это не будет проще чем через изменение импульса.