2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 13:08 


06/01/21
20
Здравствуйте!
Задача. Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести начинает скатываться с вершины ледяной горки параболического профиля. Уравнение профиля $x+y^2=1,$ где $x\ge0,\text{ }y\ge0$. Рассчитайте траекторию движения частицы до ее приземления.


Буду предполагать, что частица в некоторый момент отрывается от горки, иначе вопрос о траектории не имел бы смысла.

Пока частица находится на горке, её траекторию описывает $f(y)=1-y^2.$ Запишу второй закон Ньютона в проекциях на оси
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 m\ddot{x}&=&N_{x}-mg,\\
 m\ddot{y}&=&N_{y}. \\
\end{array}
\right.$$
Пусть частица оторвется от горки в момент времени $t=t_{0}$, тогда
$$\left\{
\begin{array}{lrr}
 \ddot{x}|_{t=t_{0}}=-g, \\
 \ddot{y}|_{t=t_{0}}=0.\\
\end{array}
\right.$$
При $t\le t_{0}$ будут справедливы соотношения $\dot{x}=-2y\dot{y},\text{ } \ddot{x}=-2\dot{y}^2-2y\ddot{y}$. Теперь я могу выписать $\dot{y}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{g}{2} и $\dot{x}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{g}{2}\cdot4y_{0}$, где $y_{0}=y(t_{0})$. Это позволяет найти квадрат скорости частицы $v^2(t_{0})=\frac{g(1+4y_{0})}{2}$ в момент времени $t=t_{0}$.

Из ЗСЭ следует, что
$1+4y_{0}=2(f(0)-f(y_{0})).$


Верно ли пока двигаюсь?


Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 13:14 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Повернутые оси координат, $x$ и $y$ разных размерностей, не совпадающих с общепринятыми - вы делаете все, чтоб успешно запутаться :cry:.

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 14:45 


17/10/16
1313
bataille
По моему, в этой задаче оси нужно ориентировать обычным образом ($X$ горизонтально). Тогда горка у вас получится в виде параболы на боку, а не вершиной вверх, как у вас.
Хотя, "скатывается с вершины профиля" вроде намекает на вариант, когда ось $Y$ вертикальна. Не совсем ясно.

Я бы так решал эту задачу. Из сохранения энергии мы знаем скорость тела в каждой точке горки. Находим проекции этой скорости на оси и дифференциируем эти проекции по времени. Получаем проекции ускорения. В точке отрыва вертикальная проекция ускорения должна стать равной $g$ (или горизонтальная проекция ускорения должна стать равной нулю), откуда нетрудно найти точку отрыва. Примерно так вы и решаете по моему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 15:38 


06/01/21
20
DimaM в сообщении #1531872 писал(а):
$x$ и $y$ разных размерностей


DimaM, не могли бы Вы разъяснить это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 15:52 


17/10/16
1313
bataille
Какая у вас размерность квадратов вертикальной и горизонтальной проекций скоростей? И квадрата модуля скорости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 16:09 


06/01/21
20
sergey zhukov в сообщении #1531894 писал(а):
Какая у вас размерность квадратов вертикальной и горизонтальной проекций скоростей? И квадрата модуля скорости?


Проблема начинается уже здесь
bataille в сообщении #1531869 писал(а):
... будут справедливы соотношения $\dot{x}=-2y\dot{y}$...

Я неправильно беру производную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 17:04 


17/10/16
1313
bataille
Из соображений размерности нужно было-бы записать $x+\frac{y^2}{a}=x_0$ т.к. метры с квадратными метрами складывать не положено ($a$ имеет размерность метров). У вас просто $x_0=1$, $a=1$. По моему, это особенно ни на что не влияет.

Ход решения вроде верный. В последнем уравнении должно быть 4, а не 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение21.09.2021, 11:02 


06/01/21
20
Начну заново. Условие в сообщении #1531869.

Будем считать, что $\dim{x}=\dim{y}=L.$
Профиль горки задан уравнением
$\begin{equation}
x+y^2=1,\qquad
\end{equation}$

причем $x\ge0, y\ge0$. Чтобы уравнение $\bold{(1)}$ выражало соотношение между координатами $x$ и $y$, измеренными в единицах длины, введем размерные коэффициенты $h$ и $a$, причем $a,h>0$; $\dim{a}=\dim{h}=L.$
Тогда из $\bold{(1)}$ следует
$x+\frac{y^2}{a}=h\Longleftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
 y=\sqrt{a(h-x)}\qquad\bold{(1.1)} \\
0\le x<h. \qquad\qquad\bold{(1.2)}
\end{array}
\right.\qquad
$

Второй закон Ньютона для движущейся частицы:
$ \left\{\begin{array}{l}
m\ddot{x}=N_{x} \\
m\ddot{y}=N_{y}-mg.
\end{array}
\right.\qquad$

Пока частица сохраняет контакт с горкой, её траекторию описывает уравнение $\bold{(1.1)}$, а значит
$\dot{y}=-\frac{a}{2}(a(h-x))^{-\frac{1}{2}}\cdot\dot{x},\quad\ddot{y}=-\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-\frac{3}{2}}\cdot\dot{x}^{2}-\frac{a}{2}(a(h-x))^{-\frac{1}{2}}\cdot\ddot{x}\Rightarrow \newline \Rightarrow v^{2}=\dot{x}^{2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-1})\quad\bold{(2.1)},$

где $v$ - скорость частицы. С другой стороны, квадрат скорости в любой момент времени можно найти из ЗСЭ
$\frac{mv^2}{2}=mg(y(0)-y(x))\Longleftrightarrow v^{2}=2g(\sqrt{ah}-y(x)).\quad\bold{(2.2)}$

Сопоставляя $\bold{(2.1)}$ и $\bold{(2.2)}$, получим
$\dot{x}^{2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-y(x))\quad\bold{(3)}.$

Пусть в момент времени $t_{0}$ происходит отрыв частицы, тогда
$ \left\{\begin{array}{l}
\ddot{x}|_{t=t_{0}}=0 \\
\ddot{y}|_{t=t_{0}}=-g
\end{array}
\right.\qquad\Rightarrow \dot{x}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}\quad\bold{(3)},$

где $x_0=x(t_{0}).$ Из $\bold{(3)}$ и $\bold{(4)}$ следует
$\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x_{0}))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-y(x_0))\Leftrightarrow \newline \Leftrightarrow\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x_{0}))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-\sqrt{a(h-x_{0})})\Leftrightarrow...\Leftrightarrow \newline $
$\Leftrightarrow y^{3}_{0}+\frac{3a^2}{4}y_{0}-\frac{a^2\sqrt{ah}}{2}=0.\qquad\bold{(5)}$

Теперь для конкретных $a$ и $h$ нетрудно найти точку $(x_{0},y_{0})$ отрыва частицы от горки, пользуясь соотношениями $\bold{(1.1)}$ и $\bold{(5)}$.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение24.09.2021, 15:30 


17/10/16
1313
bataille
Громоздкое какое-то решение. Впрочем, я попробовал несколько иначе, и тоже не лучше. Есть, наверное, способ попроще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение24.09.2021, 15:38 
Заслуженный участник


30/01/09
5064
sergey zhukov в сообщении #1532584 писал(а):
Есть, наверное, способ попроще.

Можно решать через радиус кривизны параболы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: VASILISK11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group