Разрывная функция распределения

[Евгений Машеров]

"Смесь распределений" официальный термин.
"Используется" не официальный, но понятное сокращение "выбирается из выборки, подчиняющейся i-тому распределению с вероятностью $p_i$"

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1532458 писал(а):

А как через него определить мат. ожидание не абсолютно непрерывной величины?

Легко и непринужденно без привлечения интеграла Лебега даются определения для матожидания дискретной случайной величины и для непрерывной случайной величины.
Да, конечно, в этом случае
а) может возникнуть непонимание, что это не одинаковое название для разных сущностей, а одно и тоже.
б) как следствие предыдущего пункта - сложности в решении задач, где имеется смесь дискретных и непрерывных случайных величин.
Но в целом никакой трагедии не возникает.

[Евгений Машеров]

Я бы сказал так. Есть общее определение матожидания, работающее во всех случаях.

$\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )\,d\operatorname {P} (\omega ).$
Но его использование может быть практически затруднено, а объяснение - потребовать знаний, которых у студента нет. Поэтому существуют два упрощённых варианта, работающие для частных случаев - для дискретного распределения и для абсолютно непрерывного распределения, в первое входят вероятности исходов, во второе плотность распределения. Их и считать проще, и растолковать студенту. Вне этих частных случаев они не работают, но эти частные случаи охватывают значительную часть практических приложений, и поэтому ими и ограничиваются в учебниках "не для математиков". А те практические приложения, в которых ни то, ни сё, а нечто более общее, как в Вашем примере, представляются смесью распределений, и для этих распределений делается расчёт по вышеуказанным частным моделям, а затем используется выражение МО смеси через МО компонентов и их доли в смеси. Не готов утверждать, что невозможно построить пример распределения, в котором такой подход не сработает, но более чем уверен, что он будет лежать далеко за границей практических применений.
В англоязычной терминологии "смесь" переводится, как mixture
https://en.wikipedia.org/wiki/Mixture_distribution
Такие распределения находят применение в финансовой математике, робастной статистике, распознавании образов, статистическом метаанализе и т.п.
https://en.wikipedia.org/wiki/Mixture_model

[Евгений Машеров]

Сугубое ИМХО.
Ваша проблема в том, что Вы путаетесь с "глубиной ныряния" в математическую абстракцию.
Есть поверхностный уровень, вообще без погружения, с которого видно что-то красивое на дне, но ничего не выловишь. Есть уровень неглубокого погружения, где уже может быть практическая польза. И есть уровни куда глубже, вплоть до таких, куда только чемпионы заныривают.
Вот уровень ТВиМС для экономистов сильно упрощённый, не "обзирание дна", но всё же "мелководье".. И им даются простейшие, но при этом востребованные на практике варианты. А Вы пытаетесь занырнуть глубже, где есть строгие обоснования (через интегралы Лебега или того пуще), но понимаете, что это студентам не давали, и приходите в недоумение. А они плавают почти при поверхности, и строгое обоснование решения данной задачи им не надо, достаточно полуинтуитивного сведения к двум уже данным им (МО для дискретных и для непрерывных величин) и очевидного выражения ответа общей задачи через эти частные.

[alisa-lebovski]

Евгений Машеров в сообщении #1532509 писал(а):

Не готов утверждать, что невозможно построить пример распределения, в котором такой подход не сработает, но более чем уверен, что он будет лежать далеко за границей практических применений.

Например, как будете считать математическое ожидание распределения Кантора? А по приведенной мной формуле запросто.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1532501 писал(а):

Но в целом никакой трагедии не возникает.

Не возникает, если не просить посчитать мат. ожидание распределения, не являющегося ни дискретным, ни непрерывным. А то пока получается "посчитай то, не знаю что".

alisa-lebovski в сообщении #1532531 писал(а):

Например, как будете считать математическое ожидание распределения Кантора?

А у сингулярных распределений есть какое-то практическое применение?

[Евгений Машеров]

alisa-lebovski в сообщении #1532531 писал(а):

Например, как будете считать математическое ожидание распределения Кантора? А по приведенной мной формуле запросто.

Спасибо за хороший пример. Но мне как-то не представляется задача, в которой требуется найти МО этого распределения. Если ещё прикладной пример с таким распределением укажете - "моя благодарность будет безгранична в пределах разумного".

[alisa-lebovski]

Это уже к вопросам преподавания, конечно, но на мой взгляд, если ограничиваться изложением только тех частей теории, которые имеют практическое применение, то картина выйдет довольно дырявая и неприглядная для пытливого ума. Так что дыр умолчания, в плане тех же сингулярных распределений, оставлять не стоит. Есть разложение Лебега, в смесь трех компонент. Теория должна давать ответ на все вызовы.

[g______d]

Возьмите модель Андерсона в режиме локализации (для простоты -- на решётке). Добавьте точечный дефект. Теорема: можно подобрать величину дефекта так, чтобы спектральная мера была сингулярно непрерывна относительно меры Лебега (более того, множество констант связи, при которых мера сингулярно непрерывна, является плотным $G_{\delta}$). Следствие: если взять любое ненулевое состояние из $\ell^2$ и посчитать вероятностное распределение его энергии, оно будет сингулярно непрерывным вероятностным распределением, хотя и не канторовским.

Канторовское сингулярное возникает, например, в модели Харпера с иррациональным потоком на квадратной целочисленной решётке, если зафиксировать квазиимпульс. Впервые было открыто физиками (одна из моделей дробного эффекта Холла), полностью доказано относительно недавно.

[artempalkin]

Евгений Машеров в сообщении #1532529 писал(а):

Вот уровень ТВиМС для экономистов сильно упрощённый, не "обзирание дна", но всё же "мелководье".. И им даются простейшие, но при этом востребованные на практике варианты. А Вы пытаетесь занырнуть глубже, где есть строгие обоснования (через интегралы Лебега или того пуще), но понимаете, что это студентам не давали, и приходите в недоумение. А они плавают почти при поверхности, и строгое обоснование решения данной задачи им не надо, достаточно полуинтуитивного сведения к двум уже данным им (МО для дискретных и для непрерывных величин) и очевидного выражения ответа общей задачи через эти частные.

Спасибо за комментарий, если он обращен ко мне.

Я как раз к интегралам Лебега не заныривал и всячески от них отбрыкиваюсь в этой теме, но меня продолжают к ним подводить :) В остальном же, вероятно, объясню студенту полуинтуитивно про "смесь СВ". Тем более раз это официальный термин.

Другой вопрос, у них в лекциях про это не было, поэтому задача на такую тему (напоминаю, первая из семи, то есть в теории самая простая - остальные на самом деле несложные и безо всяких подковык) - вообще странная задача. Обращаю внимание, что если тупо посчитать функцию распределения, потом взять от нее производную (что я, не подумав, сначала сделал), то есть найти своего рода "плотность" (только она не будет нормирована), посчитать для нее формально среднее и "дисперсию", то получатся, как я понимаю, правильные ответы (потому что, как вы писали, дискретный "ингредиент" смеси - вырожденный). Я подозреваю, и очень крепко подозреваю, что либо составители сильно не задумывались над задачей и в их голове она вот так и решалась, либо ожидали от студентов такого "неправильного" решения с правильным ответом. Потому что студентам просто иначе, строго говоря, неоткуда черпать информацию об этой задаче, и правильно решить они ее не могут.

[alisa-lebovski]

artempalkin в сообщении #1532854 писал(а):

то получатся, как я понимаю, правильные ответы (потому что, как вы писали, дискретный "ингредиент" смеси - вырожденный).

Это получается только потому, что скачок именно в нуле.