Разрывная функция распределения

[artempalkin]

EUgeneUS в сообщении #1532454 писал(а):

а как расширить эти рассуждения на

а) $\xi=\theta\eta+(1-\theta)t_1$
б) $\xi=\theta\eta+(1-\theta)(\sigma t_1+(1-\sigma) t_2)$ - надо подумать о независимости, но может это даже и правильно

кажется, так

EUgeneUS в сообщении #1532454 писал(а):

решение получается моментально и в этих случаях. А доказывается он несложно, вроде бы.

Я так понимаю, все здесь в той или иной мере преподаватели :) Понять, как решается сложным способом, и быть способным объяснить решение за разумное время человеку с очень низким уровнем подготовки - совсем разные вещи. Я сам вполне могу сделать следущее

EUgeneUS в сообщении #1532444 писал(а):

1. Представим, что бракованные приборы сгорают не моментально, а в течение какого-то короткого промежутка $[0,\Delta x]$.
2. Причем на этом промежутке функция распределения - хорошая, то есть непрерывная, монотонная, дифференцируемая.
3. Запишем интеграл для среднего, потом возьмем его по частям.
4. После чего устремим $\Delta x$ к нулю и убедимся, что этот скачок в нуле не влияет на среднее, потому что он в нуле.

Но вот тратить 3/4 урока, чтобы объяснить все нюансы этого решения человеку, у которого это 1-ое задание из 7, которые нужно разобрать и понять, (и который с трудом берет простейшие интегралы, например) - не уверен. Нужно найти способ, которым предполагалось это решать теми, кто придумывал задачу, исходя из того, что люди знают и их уровня.

[mihaild]

А как определяется мат. ожидание? Честно через интеграл Лебега или с каким-то срезанием углов?

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1532456 писал(а):

А как определяется мат. ожидание? Честно через интеграл Лебега или с каким-то срезанием углов?

Нет, через интеграл Римана, не сильнее того. Это экономисты, а не математики (РЭШ, если быть конкретным). У них нет функана.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1532457 писал(а):

Нет, через интеграл Римана, не сильнее того

А как через него определить мат. ожидание не абсолютно непрерывной величины?

[EUgeneUS]

artempalkin в сообщении #1532455 писал(а):

кажется, так

Вот Вы и (почти) доказали факт, приведенный уважаемым Евгений Машеров

(Оффтоп)

Можно, например так.
1. Введем случайные величины $\theta_i$, которые принимают значение $1$, если прибор относится к i-ой группе, и $0$ в противном случае.
2. Введем случайные величины $\eta_i$, время жизни прибора, если он относится к i-ой группе.
3. Тогда время жизни прибора:
$\xi = \sum\limits_{i}^{} \theta_i \eta_i$

4. И матожидание:
$\mathbb{E} \xi = \sum\limits_{i}^{} \mathbb{E}\theta_i \mathbb{E} \eta_i = \sum\limits_{i}^{} p_i \mathbb{E} \eta_i$
где $p_i$ - вероятность, что прибор относится к i-й группе
$\theta_i$ - не являются независимыми, но нам это и не нужно.

artempalkin в сообщении #1532455 писал(а):

Я так понимаю, все здесь в той или иной мере преподаватели :)

Я-то нет.

artempalkin в сообщении #1532455 писал(а):

Но вот тратить 3/4 урока, чтобы объяснить все нюансы этого решения человеку, у которого это 1-ое задание из 7, которые нужно разобрать и понять,

Физики постоянно так поступают, когда математические курсы не успевают

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1532458 писал(а):

А как через него определить мат. ожидание не абсолютно непрерывной величины?

Вот это и странно... я не совсем понимаю, как предполагалось решать это задание, кроме приведенного мной способа.

Задание в общем такое: построить функцию распределения (что как бы без проблем), мат ожидание (можно моим способом), дисперсию (можно моим способом).

Через плотность не получится, т.к. плотность просто не получится найти. Но задания найти плотность нет.

-- 23.09.2021, 18:27 --

EUgeneUS в сообщении #1532459 писал(а):

Физики постоянно так поступают, когда математические курсы не успевают

Не, ну если человек хочет ПОНЯТЬ что-то таким образом, то могу только порадоваться за него :) Но ОБЪЯСНЯТЬ кому-то что-то в таком разрезе - слишком много нервов и мало отдачи

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1532462 писал(а):

Вот это и странно... я не совсем понимаю, как предполагалось решать это задание

Да пока что даже непонятно, как его сформулировать. По сути задан функционал на абсолютно непрерывных величинах и просят найти его значение на величинах, не являющихся абсолютно непрерывными.

[zykov]

artempalkin в сообщении #1532423 писал(а):

Из всех приборов $p$ ($0<p<1$) от общего числа бракованны и ломаются сразу при включении. Остальные имеют время жизни показательно распределенное с параметром $\lambda$. Найти среднее значение времени жизни случайно выбранного прибора.

Прямо так и делаете, как в задаче записано - в два шага.
Первый шаг: с вероятностью $p$ сломался сразу или с вероятность $1-p$ не сломался сразу.
Второй шаг: для первого случая матожидание тривиально ноль, для второго случая условная вероятность имеет стандартную плотность и матожидание тоже известо.
В итоге обратно оба исхода объедениям и получаем полное матожидание.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1532463 писал(а):

Да пока что даже непонятно, как его сформулировать. По сути задан функционал на абсолютно непрерывных величинах и просят найти его значение на величинах, не являющихся абсолютно непрерывными.

Чтобы такое видеть, нужно быть профессиональным математиком и понимать предмет с самых основ. Большинство изучающих тервер на уровне экономистов слыхом не слыхивали про абсолютно и не абсолютно непрерывные величины.

[Someone]

artempalkin в сообщении #1532426 писал(а):

У вас функция не стремится к единице на бесконечности... опечатка или так должно быть?

Списал у Вас не то, что нужно. Причём, списал как-то совсем странно.

[zykov]

artempalkin в сообщении #1532466 писал(а):

Большинство изучающих тервер на уровне экономистов слыхом не слыхивали...

Уж условные вероятности должны были рассказать.
Тем более что задача на них.

[Someone]

artempalkin в сообщении #1532426 писал(а):

Да, про смешение распределений я понимаю, но не особо знаю и здесь слишком рано, чтобы это применять... надо как-то придумать, как сделать по другому с применением более простых правил.

У Вас смесь двух случайных величин: первая с вырожденным распределением, вторая — с показательным. Первая используется с вероятностью $p$, вторая — с вероятностью $1-p$. Математическое ожидание для смеси находится по формуле полной вероятности для математического ожидания.

-- Чт сен 23, 2021 19:35:42 --

Перечитал тему и понял, что именно это Вам целую страницу пытаются втолковать, хотя и другими словами, но Вы не хотите. А зря! Ничего проще не найдёте. А в математические детали тем экономистам, которые не Стьюденты, вникать не обязательно.

[artempalkin]

Someone в сообщении #1532469 писал(а):

Перечитал тему и понял, что именно это Вам целую страницу пытаются втолковать, хотя и другими словами, но Вы не хотите. А зря! Ничего проще не найдёте. А в математические детали тем экономистам, которые не Стьюденты, вникать не обязательно.

Я в целом это понимаю. Но скорее интуитивно, я не знаю откуда это следует. Например, если записать плотность через дельта-функцию - я понимаю. Записать СВ как какую-то композицию СВ - тоже. А тут... Даже термины, которые вы используете (а вы профессиональный математик, насколько я могу судить), какие-то не вполне математические

Someone в сообщении #1532469 писал(а):

смесь двух случайных величин

Someone в сообщении #1532469 писал(а):

Первая используется с вероятностью $p$, вторая — с вероятностью $1-p$.

(так и говорят - "случайная величина используется"?)

Евгений Машеров в сообщении #1532447 писал(а):

Матожидание смеси распределений равно взвешенному среднему их матожиданий с весами, равными долям в смеси.

На самом деле, насколько я могу судить (и насколько писал уважаемый EUgeneUS) моя вот эта формула ($\xi=\theta\eta$) - это достаточно строгое обоснование вот этого "смешения", о котором мне несколько человек сказали в какой-то интуитивной больше манере.

[alisa-lebovski]

Существует универсальная формула математического ожидания без использования плотностей и дельта-функций, чисто через функцию распределения:

$$M\xi=-\int_{-\infty}^0F(x)\,dx+\int_0^{+\infty}(1-F(x))\,dx.$$

[Someone]

artempalkin в сообщении #1532474 писал(а):

Даже термины, которые вы используете (а вы профессиональный математик, насколько я могу судить), какие-то не вполне математические

Someone в сообщении #1532469 писал(а):

смесь двух случайных величин

Вполне стандартный термин в теории вероятностей. Неоднократно встречается, например, в обоих томах двухтомного учебника В. Феллера "Введение в теорию вероятностей и её приложения" (Москва, «Мир», 1984).

В простейшем случае имеется набор случайных величин $X_1,X_2,\ldots,X_n$ и случайная величина $Y$, принимающая значения $1,2,\ldots,n$ (и не принимающая никаких других значений) с вероятностями $p_1,p_2,\ldots,p_n$, где, естественно, $p_1+p_2+\ldots+p_n=1$. Определяем случайную величину $Z$ следующим образом: разыгрываем случайную величину $Y$ и получаем некоторое значение $k$; далее разыгрываем случайную величину $X_k$ и принятое ей значение будет значением случайной величины $Z$.

Вот эта случайная величина $Z$ и называется смесью случайных величин $X_1,X_2,\ldots,X_n$ с вероятностями $p_1,p_2,\ldots,p_n$. Её функция распределения равна $F_Z(x)=p_1F_{X_1}(x)+p_2F_{X_2}(x)+\ldots+p_nF_{X_n}(x)$. Если все случайные величины $X_1,X_2,\ldots,X_n$ абсолютно непрерывны, то аналогичная формула будет для плотности вероятности.

artempalkin в сообщении #1532474 писал(а):

Someone в сообщении #1532469 писал(а):

Первая используется с вероятностью $p$, вторая — с вероятностью $1-p$.

(так и говорят - "случайная величина используется"?)

Почему бы ей и не "использоваться"? Не нравится это слово, говорите "разыгрывается".

artempalkin в сообщении #1532474 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #1532447 писал(а):

Матожидание смеси распределений равно взвешенному среднему их матожиданий с весами, равными долям в смеси.

По формуле полной вероятности для математического ожидания, $\mathbf{M}Z=p_1\mathbf{M}X_1+p_2\mathbf{M}X_2+\ldots+p_n\mathbf{M}X_n$. Как раз то, что имеет в виду Евгений Машеров.