Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы

[maximkarimov]

Из формулы для объема правильного n-симплекса следует, что объем правильного 0-симплекса равен 1. Из формулы для сферы, описанной вокруг правильного n-симплекса следует, что радиус сферы, описанной вокруг правильного 0-симплекса равен 0. Следовательно, объем шара, который содержит правильный 0-симплекс равен 0. Как так получается, что шар объемом 0 содержит симплекс объемом 1?
P.S. Формулы в Вики.

[Sender]

вики писал(а):

Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен $\frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}$

Как вы себе представляете правильный 0-симплекс с единичной стороной?

[maximkarimov]

А как Вы себе представляете 0-симплекс с не единичной стороной?

[Sender]

Я первый спросил.
Вообще, что такое симплекс? Дайте определение.

[Geen]

maximkarimov в сообщении #1532242 писал(а):

Следовательно, объем шара, который содержит правильный 0-симплекс равен 0.

Это откуда следует?

[maximkarimov]

Хм, действительно - из формулы для объёма n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве получается, что в 0-мерном пространстве его объем равен 1 независимо от радиуса. Но каким образом тогда получается, что внутренность сферы с радиусом 0 имеет объем 1?

[Geen]

maximkarimov в сообщении #1532250 писал(а):

сферы с радиусом 0

А это откуда взялось?

[maximkarimov]

Из формулы в Вики (статья Симплекс):
$R_{n}=a\sqrt{ \frac{n}{2n+1} }$

-- 21.09.2021, 20:20 --

Попробую с другой стороны: чему равна (максимальная) длина ребра правильного n-симплекса, который находится внутри n-мерного шара единичного радиуса?

[Mikhail_K]

maximkarimov
"Объём" в трёхмерном пространстве $\mathbb{R}^3$ - это обычный объём. Он равен $1$ для единичного куба.
"Объём" на плоскости $\mathbb{R}^2$ - это площадь. Она равна $1$ для единичного квадрата.
"Объём" на прямой $\mathbb{R}$ - это длина. Она равна $1$ для единичного отрезка.

По аналогии можно определить "объём" в нульмерном пространстве (если уж очень хочется). Он должен быть равен $1$ для точки. И вообще, в нульмерном пространстве нет ничего кроме точки. Поэтому и "шар" любого радиуса, и симплекс, и куб с любой длиной ребра в нульмерном пространстве - это просто точка (если угодно, одноточечное множество). В нульмерном пространстве больше ничего нет. И его 0-объём получается равным $1$.

Например, что такое $0$-шар радиуса $R$? Это множество точек, отстоящих от центра на расстояние не более $R$. В качестве центра придётся взять единственную точку в нульмерном пространстве. Тогда, каким бы ни было $R$ (пусть даже и нулём), множество точек нульмерного пространства, отстоящих от этого центра на расстояние не более $R$, будет состоять из одной этой точки.

[Emergency]

maximkarimov в сообщении #1532260 писал(а):

Из формулы в Вики

Кроме формулы надо понимать и смысл.
Объем бывает у 3-х и более мерных тел. Уже 2-симплекс (плоский треугольник) не имеет объема, а 1-симплекс уже не имеет площади, как и 0-симплекс не имеет длины. Зачем же искать у него объем? Хотя формально, в нулевых единицах дины у него и объем будет единичным.

[maximkarimov]

Emergency в сообщении #1532263 писал(а):

Кроме формулы надо понимать и смысл. Объем бывает у 3-х и более мерных тел.

Вот и постарайтесь понять, что, например у 0-, 1-, и 2-х мерных шаров тоже есть объем.

-- 21.09.2021, 21:29 --

Sender в сообщении #1532248 писал(а):

Я первый спросил.
Вообще, что такое симплекс? Дайте определение.

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). (Вики)

[zykov]

maximkarimov в сообщении #1532250 писал(а):

действительно - из формулы для объёма n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве получается, что в 0-мерном пространстве его объем равен 1 независимо от радиуса

Вы ещё посмотрите, в каких единицах он измеряется.
3-мерный объем в кубических метрах.
2-мерная площадь в квадратных метрах.
1-мерная длина в метрах.
А 0-мерное нечто в чём?

Если длину измерить в сантиметрах вместо метров, то число увеличится в 100 раз.
Если площадь измерить в квадратных сантиметрах вместо квадратных метров, то число увеличится в 10000 раз.
А в 0-мерном случае?
Вот оно и не зависит.

[Sender]

maximkarimov в сообщении #1532265 писал(а):

выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства

Хорошо, теперь можно перейти к вопросу, что собой представляет сторона симплекса.

[maximkarimov]

Mikhail_K в сообщении #1532262 писал(а):

И его 0-объём получается равным $1$.

И это замечательно! Спасибо.