Закон Янссена используется для расчета давления на дно сыпучих (гранулированных) материалов, помещенных в цилиндрическую емкость
https://books.google.com.ua/books?id=6A ... ar&f=false (стр.85-87) . Ниже пытаюсь обобщить этот закон на случай усеченного конуса (загрузочной воронки). Выделим в засыпанном в воронку материале горизонтальный слой толщиной

(ось

направлена вертикально вниз).

Вертикально вниз на него действует сила тяжести

(

- плотность сыпучего материала). Вертикально вверх -сила давления

и две силы со стороны боковой стенки. Первая сила - это вертикальная составляющая силы реакции опоры -

. Для нахождения

воспользуемся гипотезой (приближением) Янссена:

, где

- безразмерный коэффициент пропорциональности. Имеем:

. Здесь

-площадь боковой поверхности элементарного усеченного конуса. Вторая сила -это вертикальная составляющая силы трения скольжения

. Тогда из условия равновесия получаем:

. Учитывая, что

, где

-радиус верхнего (начального) основания всего усеченного конуса, окончательно получаем следующее ОДУ с граничным условием

при

:

.
Прошу проверить мои выкладки. Заранее благодарен.