Среднее кратных чисел

[denny]

Знакомая решала задачу на Python:
Найти среднее арифметическое чисел из интервала $[a, b]$ кратных данному $c$

Они там проходят циклы, а я вот подумал: как найти результат одной формулой?
Для упрощения будем считать, что $0 \leqslant a \leqslant b, c > 0$.
Хотелось бы найти формулу, использующую только арифметические операции и
целочисленное деление (//).

У меня получилось только так (% - остаток от деления):

if a % c == 0:  
    first = a  
else:  
    first = (a // c + 1) * c  
    
last = c * (b // c)  

if first > last:  
    print(0)  
else:
    print((first + last) / 2) 

Мне кажется, должно получиться убрать условия и свернуть все в формулу...

[lel0lel]

Если $\left\lfloor\frac{ b}{ c}\right\rfloor-\left\lceil\frac{ a}{ c}\right\rceil+1\ne 0$, то среднее равно $\left(\left\lfloor\frac{ b}{ c}\right\rfloor+\left\lceil\frac{ a}{ c}\right\rceil\right)\frac{ c}{2},$ иначе среднее неопределено.

[statistonline]

denny в сообщении #1532076 писал(а):

Хотелось бы найти формулу, использующую только арифметические операции и
целочисленное деление (//).

Наверное, вычисление остатка не объехать. Но можно чуть короче.

lst = [t for t in range(a, b+1) if t%c == 0]
print(sum(lst) / len(lst))

А, прошу прощения, циклы тоже нельзя!

[denny]

statistonline в сообщении #1532103 писал(а):

А, прошу прощения, циклы тоже нельзя!

Да, это должно быть решение в формуле

lel0lel в сообщении #1532084 писал(а):

Если $\left\lfloor\frac{ b}{ c}\right\rfloor-\left\lceil\frac{ a}{ c}\right\rceil+1\ne 0$, то среднее равно $\left(\left\lfloor\frac{ b}{ c}\right\rfloor+\left\lceil\frac{ a}{ c}\right\rceil\right)\frac{ c}{2},$ иначе среднее неопределено.

Это очень близко. Если правильно понимаю, для положительных чисел $\left\lfloor\frac{ x}{ y}\right\rfloor \equiv x//y$.
Надо еще обдумать исключения

[lel0lel]

Замечу ещё раз, что если на интервале кратных числу $c$ чисел нет, то правильный ответ, что среднее неопределенно, неправильно возвращать значение ноль.

[denny]

lel0lel в сообщении #1532120 писал(а):

Замечу ещё раз, что если на интервале кратных числу $c$ чисел нет, то правильный ответ, что среднее неопределенно, неправильно возвращать значение ноль.

Да, понимаю!

[denny]

Но есть другой вопрос. Если есть операция "целочисленное деление $x//y$", то $\left\lfloor x/y \right\rfloor$ эквивалентна ей, а вот как выразить $\left\lceil x /y \right\rceil$?

[lel0lel]

$\left\lceil x /y \right\rceil=\left\lfloor (x+y-1) /y \right\rfloor$ для натуральных.

[statistonline]

lel0lel в сообщении #1532084 писал(а):

Если $\left\lfloor\frac{ b}{ c}\right\rfloor-\left\lceil\frac{ a}{ c}\right\rceil+1\ne 0$, то среднее равно $\left(\left\lfloor\frac{ b}{ c}\right\rfloor+\left\lceil\frac{ a}{ c}\right\rceil\right)\frac{ c}{2},$ иначе среднее неопределено.

Не совсем понял один момент: если, например, рассмотреть случай $a=0, b=10, c=17$, то условие выполняется, среднее считает $8,5$, но должно же быть не определено?

[lel0lel]

Почему неопределенно, ведь ноль кратен 17-ти. Среднее равно нулю, что и даёт формула.

Вообще тут обычная арифметическая последовательность, уж её среднее найти не составляет труда. Честно говоря, задача не вполне олимпиадная.

[denny]

lel0lel в сообщении #1532133 писал(а):

Почему неопределенно, ведь ноль кратен 17-ти. Среднее равно нулю, что и даёт формула.

Вообще тут обычная арифметическая последовательность, уж её среднее найти не составляет труда. Честно говоря, задача не вполне олимпиадная.

Согласен, вообще сам это придумал ))
Олимпиадность думаю все же есть, если требовать выразить результат только через $// \equiv \left\lfloor\right\rfloor$
Но я уже увидел ваш ответ, и нашел еще один вариант, более громоздкий, правда:
$\left\lceil x \right\rceil = \left\lfloor x \right\rfloor - \left\lfloor \left\lfloor x \right\rfloor - x \right\rfloor$

-- 19.09.2021, 23:33 --

Итак, если сверх арифметических операций использовать только целочисленное деление,
то получаем:

foo = (a + b - 1) // c
bar = b // c

if foo == bar + 1:
    result = 'Undefined'
else:
    result = (foo + bar) * c / 2

print(result)

[lel0lel]

Только это для натуральных, если числа вещественные, то используйте ваш вариант.

[kotenok gav]

$\lceil x\rceil=-\lfloor-x\rfloor$. Если правильно помню, то в Питоне a // b совпадает с $\lfloor\dfrac ab\rfloor$ даже при отрицательных $a$ (насчёт отрицательных $b$ совсем не уверен).

[denny]

kotenok gav в сообщении #1532137 писал(а):

$\lceil x\rceil=-\lfloor-x\rfloor$. Если правильно помню, то в Питоне a // b совпадает с $\lfloor\dfrac ab\rfloor$ даже при отрицательных $a$ (насчёт отрицательных $b$ совсем не уверен).

Да, есть такое. Я подумал об этом. Но дело в том, что действительно, целочисленное деление для натуральных чисел в Питоне и в абсолютном большинстве языков программирования совпадает с $\left\lfloor\right\rfloor$.

А вот с минусами, да еще в дробях уже начинаются чисто особенности языков и диалектов