Производная ищется в точке.
Верно.
Смотрите. Есть функция. Есть точка, в которой эта функция определена. На этой точке функция принимает какое то значение. В принципе, "рядом" с этой точкой функция может принимать какие угодно значения. И эти значения могут быть вообще никак не связаны со значением функции в нашей выбранной точке. Ну например, функция в нуле принимает значение ноль, а во всех остальных - единицу. Такие функции изучать довольно сложно, да и в практике они возникают редко. Поэтому мы ограничиваем себя изучением функций, которые устроены как-то более предсказуемо. Например, рядом с нашей точкой функция может принимать значения, которые сами находятся рядом со значением функции в этой точке. Я думаю, Вы здесь узнали свойство непрерывности функции в точке. И если теперь взять какую нибудь функцию, непрерывную в каждой точке отрезка, то от этой функции можно ждать достаточно хорошее поведение (достижение наибольшего и наименьшего значений, равномерную непрерывность и тд). Но такие непрерывные функции, несмотря на все положительные моменты, все равно могут демонстрировать довольно непредсказуемое поведение рядом с выбранной точкой. Поэтому мы подумали и решили, а давайте рассмотрим функции, которые рядом с точкой "выпрямляются". Иными словами, если взять микроскоп и смотреть прямо в интересующую нас точку графика функции, то мы обнаружим, что начиная с какого-то выбора разрешения микроскопа, график функции становится все более и более похож на прямую. Ну тоесть, какую бы "степень похожести" на прямую мы бы ни выбрали, найдётся разрешение микроскопа (возможно, очень большое) такое, что в таком разрешении функция будет похожа на прямую с нужной нам "степенью похожести". И если увеличивать разрешение, то функция будет похожа на прямую все лучше и лучше (ну строго говоря уж точно не хуже). Вот это свойство функции - быть похожей на прямую в окрестности точки - и называется дифференцируемостью (в точке). Как это рассказать ещё более неформально, я не знаю.
).
