Нигде не плотное множество - в шаре или точке?

[mihaild]

Vadim.bassin в сообщении #1532018 писал(а):

Имеется в виду любая окрестность, или только открытая?

В данном контексте под окрестностью точки понимается либо открытый шар с центром в этой точке, либо произвольное открытое множество, содержащее эту точку.

[Mikhail_K]

Vadim.bassin в сообщении #1532018 писал(а):

любая окрестность, или только открытая?

А каково определение окрестности?

[Vadim.bassin]

Mikhail_K В этом и вопрос. В некоторых местах окрестность определяется, как открытое множество, в некоторых - любое множество, содержащее открытое множество.
Я не совсем понимаю, почему так...

Но mihaild ответил, что в контексте нигде не плотных множеств понимается открытое множество топологии (надеюсь, понял правильно)

[mihaild]

Vadim.bassin, на самом деле и в данном случае это неважно - определения с использованием обоих определений окрестностей получаются эквивалентны.

[Mikhail_K]

Vadim.bassin в сообщении #1532074 писал(а):

В некоторых местах окрестность определяется, как открытое множество, в некоторых - любое множество, содержащее открытое множество.

Омонимы, так сказать. В математике такое бывает.

Vadim.bassin в сообщении #1532018 писал(а):

Вопрос: в определении плотного можества фигурирует понятие окрестности (в которой внешнее множство плотно). Имеется в виду любая окрестность, или только открытая?
То же в нигде не плотном множестве: имеются в виду что оно не плотно в только в открытых окрестностях, или в любых?

Можно иметь в виду хоть одно определение окрестности, хоть другое. Попробуйте доказать, что определения плотного и нигде не плотного множества от этого не изменятся.

[Someone]

Vadim.bassin в сообщении #1532074 писал(а):

в некоторых - любое множество, содержащее открытое множество.

Не совсем так. Правильно так: окрестностью точки называется множество, в котором данная точка является внутренней. То есть, $O$ — окрестность точки $x$, если существует такое открытое множество $U\subseteq O$, что $x\in U$.

А вообще, в зависимости от обстоятельств понятие окрестности может определяться по-разному. Например, в метрическом пространстве окрестностью точки часто называют открытый шар с центром именно в этой точке, а иногда ещё требуют, чтобы и радиус удовлетворял каким-нибудь условиям, например, был рациональным. В абстрактной топологии, как правило, окрестность точки или множества — это любое открытое множество, содержащее данную точку или данное множество, а обсуждаемое в вашей теме расширение понятия окрестности встречается редко. Единственные обязательные требования к окрестностям:
1) точка должна быть внутренней точкой любой своей окрестности, то есть, принадлежать некоторому открытому подмножеству этой окрестности;
2) все окрестности данной точки образуют базу топологии в данной точке, то есть, для каждого открытого множества, содержащего некоторую точку, существует окрестность этой точки, содержащаяся в данном открытом множестве.

Vadim.bassin в сообщении #1531539 писал(а):

В определении нигде не плотного множества А в КФ говорится, что оно означает, что внутри любого шара есть шар В, не пересекающийся с А. Почему В определён, как шар? Ведь достаточно только одной точки, не принадлежащей А внутри любого шара, чтобы сделать А не полным в этом шаре.

Во-первых, не "не полным", а "нигде не плотным".
Во-вторых, то, что Вы говорите — неверно. Например, по вашему определению множество рациональных чисел было бы нигде не плотным на числовой прямой.