Суммы рекуррентных посл.-тей

[kthxbye]

Имеем семейство последовательностей

$$a(2n+1) = p_1a(n)+p_2a(2n), a(2n) = q_1a(n)+q_2a(n-2^{f(n)})+q_3a(2n-2^{f(n)}), a(0)=1, a(1)=p_1+p_2$$

где $f(n)$ это A007814. Тогда если

$$s(n)=\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}a(k)$$

то

$$\begin{bmatrix} p_1 & p_2 & q_1 & q_2 & q_3 & s(n) \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & A000142(n+1)\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & A000110(n+1)\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & A000110(n+1)\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & A000108(n+1)\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & A001147(n+1)\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & A035009(n+1)\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & A000670(n+1)\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & A026671(n) \end{bmatrix}$$

Ссылки на последовательности: A000142, A000110, A000108, A001147, A035009, A000670, A026671.

Как можно доказать хотя бы одно из значений для $s(n)$ (чтобы далее по аналогии доказать остальные)?

[kthxbye]

Если поменять $f(n)$ на A000120, A023416, A000523 или A065120, поиск $s(n)$ в OEIS не дает результатов. Случаи $p_1=q_1=q_2=q_3=1, p_2=0$ и $p_1=p_2=q_1=q_3=1, q_2=0$ произрастают из проблемы с предвзятой ладьей, т.е. их природа натуральна, и, вероятно поэтому обобщение в первом посте оказалось несущим в себе определенный смысл.

[kthxbye]

Менял $a(1)$ для некоторых специфических случаев, а потом, домножая $a(2n+1)$ на $2$ забыл поменять $a(1)=1$ на $a(1)=2$. В итоге получил еще две последовательности:

$$\begin{bmatrix} p_1 & p_2 & q_1 & q_2 & q_3 & s(n) \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & A324133(n+1) \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & A279561(n+1) \end{bmatrix}$$

Ссылки на них: A324133, A279561.

[Pphantom]

kthxbye, кажется, вам пора обратить внимание на одно неприятное обстоятельство. За последний месяц вы создали 9 тем и написали в них 16 сообщений, на которые последовало три хоть каких-нибудь реакции, из которых только одно ответное сообщение поддерживало обсуждение. Отрезок именно в месяц выбран только для примера, предыдущая история в целом такая же.

Не то чтобы это (пока) что-то всерьез нарушает, но можно считать экспериментально доказанным, что сия тематика не вызывает интереса у посетителей форума. Наверное, из этого уже пора сделать какие-то выводы.