Динамика материальной точки

[bataille]

Здравствуйте!
Задача. Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести начинает скатываться с вершины ледяной горки параболического профиля. Уравнение профиля $x+y^2=1,$ где $x\ge0,\text{ }y\ge0$. Рассчитайте траекторию движения частицы до ее приземления.


Буду предполагать, что частица в некоторый момент отрывается от горки, иначе вопрос о траектории не имел бы смысла.

Пока частица находится на горке, её траекторию описывает $f(y)=1-y^2.$ Запишу второй закон Ньютона в проекциях на оси

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m\ddot{x}&=&N_{x}-mg,\\ m\ddot{y}&=&N_{y}. \\ \end{array} \right.$$

Пусть частица оторвется от горки в момент времени $t=t_{0}$, тогда

$$\left\{ \begin{array}{lrr} \ddot{x}|_{t=t_{0}}=-g, \\ \ddot{y}|_{t=t_{0}}=0.\\ \end{array} \right.$$

При $t\le t_{0}$ будут справедливы соотношения $\dot{x}=-2y\dot{y},\text{ } \ddot{x}=-2\dot{y}^2-2y\ddot{y}$. Теперь я могу выписать $\dot{y}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{g}{2} и $\dot{x}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{g}{2}\cdot4y_{0}$, где $y_{0}=y(t_{0})$. Это позволяет найти квадрат скорости частицы $v^2(t_{0})=\frac{g(1+4y_{0})}{2}$ в момент времени $t=t_{0}$.

Из ЗСЭ следует, что

$1+4y_{0}=2(f(0)-f(y_{0})).$

Верно ли пока двигаюсь?

[DimaM]

Повернутые оси координат, $x$ и $y$ разных размерностей, не совпадающих с общепринятыми - вы делаете все, чтоб успешно запутаться .

[sergey zhukov]

bataille
По моему, в этой задаче оси нужно ориентировать обычным образом ($X$ горизонтально). Тогда горка у вас получится в виде параболы на боку, а не вершиной вверх, как у вас.
Хотя, "скатывается с вершины профиля" вроде намекает на вариант, когда ось $Y$ вертикальна. Не совсем ясно.

Я бы так решал эту задачу. Из сохранения энергии мы знаем скорость тела в каждой точке горки. Находим проекции этой скорости на оси и дифференциируем эти проекции по времени. Получаем проекции ускорения. В точке отрыва вертикальная проекция ускорения должна стать равной $g$ (или горизонтальная проекция ускорения должна стать равной нулю), откуда нетрудно найти точку отрыва. Примерно так вы и решаете по моему.

[bataille]

DimaM в сообщении #1531872 писал(а):

$x$ и $y$ разных размерностей

DimaM, не могли бы Вы разъяснить это?

[sergey zhukov]

bataille
Какая у вас размерность квадратов вертикальной и горизонтальной проекций скоростей? И квадрата модуля скорости?

[bataille]

sergey zhukov в сообщении #1531894 писал(а):

Какая у вас размерность квадратов вертикальной и горизонтальной проекций скоростей? И квадрата модуля скорости?

Проблема начинается уже здесь

bataille в сообщении #1531869 писал(а):

... будут справедливы соотношения $\dot{x}=-2y\dot{y}$...

Я неправильно беру производную?

[sergey zhukov]

bataille
Из соображений размерности нужно было-бы записать $x+\frac{y^2}{a}=x_0$ т.к. метры с квадратными метрами складывать не положено ($a$ имеет размерность метров). У вас просто $x_0=1$, $a=1$. По моему, это особенно ни на что не влияет.

Ход решения вроде верный. В последнем уравнении должно быть 4, а не 2.

[bataille]

Начну заново. Условие в сообщении #1531869.

Будем считать, что $\dim{x}=\dim{y}=L.$
Профиль горки задан уравнением

$\begin{equation} x+y^2=1,\qquad \end{equation}$

причем $x\ge0, y\ge0$. Чтобы уравнение $\bold{(1)}$ выражало соотношение между координатами $x$ и $y$, измеренными в единицах длины, введем размерные коэффициенты $h$ и $a$, причем $a,h>0$; $\dim{a}=\dim{h}=L.$
Тогда из $\bold{(1)}$ следует

$x+\frac{y^2}{a}=h\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=\sqrt{a(h-x)}\qquad\bold{(1.1)} \\ 0\le x<h. \qquad\qquad\bold{(1.2)} \end{array} \right.\qquad $

Второй закон Ньютона для движущейся частицы:

$ \left\{\begin{array}{l} m\ddot{x}=N_{x} \\ m\ddot{y}=N_{y}-mg. \end{array} \right.\qquad$

Пока частица сохраняет контакт с горкой, её траекторию описывает уравнение $\bold{(1.1)}$, а значит

$\dot{y}=-\frac{a}{2}(a(h-x))^{-\frac{1}{2}}\cdot\dot{x},\quad\ddot{y}=-\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-\frac{3}{2}}\cdot\dot{x}^{2}-\frac{a}{2}(a(h-x))^{-\frac{1}{2}}\cdot\ddot{x}\Rightarrow \newline \Rightarrow v^{2}=\dot{x}^{2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-1})\quad\bold{(2.1)},$

где $v$ - скорость частицы. С другой стороны, квадрат скорости в любой момент времени можно найти из ЗСЭ

$\frac{mv^2}{2}=mg(y(0)-y(x))\Longleftrightarrow v^{2}=2g(\sqrt{ah}-y(x)).\quad\bold{(2.2)}$

Сопоставляя $\bold{(2.1)}$ и $\bold{(2.2)}$, получим

$\dot{x}^{2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-y(x))\quad\bold{(3)}.$

Пусть в момент времени $t_{0}$ происходит отрыв частицы, тогда

$ \left\{\begin{array}{l} \ddot{x}|_{t=t_{0}}=0 \\ \ddot{y}|_{t=t_{0}}=-g \end{array} \right.\qquad\Rightarrow \dot{x}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}\quad\bold{(3)},$

где $x_0=x(t_{0}).$ Из $\bold{(3)}$ и $\bold{(4)}$ следует

$\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x_{0}))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-y(x_0))\Leftrightarrow \newline \Leftrightarrow\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x_{0}))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-\sqrt{a(h-x_{0})})\Leftrightarrow...\Leftrightarrow \newline $

$\Leftrightarrow y^{3}_{0}+\frac{3a^2}{4}y_{0}-\frac{a^2\sqrt{ah}}{2}=0.\qquad\bold{(5)}$

Теперь для конкретных $a$ и $h$ нетрудно найти точку $(x_{0},y_{0})$ отрыва частицы от горки, пользуясь соотношениями $\bold{(1.1)}$ и $\bold{(5)}$.

[sergey zhukov]

bataille
Громоздкое какое-то решение. Впрочем, я попробовал несколько иначе, и тоже не лучше. Есть, наверное, способ попроще.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1532584 писал(а):

Есть, наверное, способ попроще.

Можно решать через радиус кривизны параболы.