2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти сумму ряда
Сообщение12.09.2021, 17:03 


12/09/21
1
Здравствуйте, уважаемые математики!
В ходе решения задачи возникла необходимость найти сумму следующего ряда

$
S = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\left(n - \sqrt{n^2+\beta}\right)\right)
$

при $\beta\gg1 $.
Я пытался сделать так: разбил ряд на два — в одном сумма от 1 до $\sim\sqrt{\beta}$, второй — все остальное. Однако как провести оценку? В ответе я ожидаю увидеть линейную зависимость при $\beta\gg1$, что подтверждается численным исследованием.
Также я пробовал найти сумму, сведя задачу к поиску комплексного интеграла (согласно т. о вычетах)

$
S\sim\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\int\limits_{C_N}dz \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\left(z - \sqrt{z^2+\beta}\right)\right) \tg\left(\pi z\right)
$,

где интегрирование происходит по окружности радиуса $N+\frac{1}{2}$, однако взять интеграл также не получилось.
Проблема в том, что у меня просто нет идей как оценить ряд или же взять интеграл. Прошу помочь разобраться, с чего вообще можно начать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение15.09.2021, 14:39 


26/04/11
72
А как Вы численное исследование, подтверждающее линейную зависимость, проводили? Обрубали ряд до $-N\le n\le N$ и всё? Если "да", то делали ли эксперименты для $\beta\ll N$, $\beta\sim N$ и $\beta\gg N$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение15.09.2021, 20:23 
Заслуженный участник


03/01/09
1470
москва
Можно получить грубую верхнюю оценку для $S,$ линейно зависящую от $\beta $. Для этого запишем $S=S_1+S_2+S_3, S_1=\sum \limits _{-\beta }^{\beta }, S_2=\sum \limits _{\beta }^{\infty }, S_3=\sum \limits _{-\infty }^{-\beta }$.
Так как $\sin ^2(\dots )\leq 1$, то $S_1\leq 2\beta +1$. Оценим синус в $S_2$, учитывая, что $n^2\gg \beta , \sin ^2\dfrac {\pi }2(n-\sqrt {n^2+\beta })\leq \dfrac {\pi ^2\beta ^2}{16n^2}, 
S_2\leq \dfrac {\pi ^2\beta ^2}{16}\sum \limits _{\beta }^{\infty }\dfrac 1{n^2}=\dfrac {\pi ^2\beta }{16}+O(1).$
Такая же оценка получается для $S_3,\text {поэтому} S\leq (2+\dfrac {\pi ^2}8)\beta +O(1).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.09.2021, 08:26 


26/04/11
72
Спасибо. Приятный классический подход, но мне хотелось получить асимптотику.

Сделаем замену $\beta=c^2$, где $c>0$, чтобы сократить ТеХ'овский набор.

Для вычисления суммы ряда
$$
S_\infty=\sum_{n\in\mathbb{Z}} 
\sin^2\Bigl(\frac{\pi}{2}\bigl(n-\sqrt{n^2+c^2}\bigr)\Bigr)
=\frac12\sum_{n\in\mathbb{Z}}
\Bigl\{1-\cos\bigl(\pi[n-\sqrt{n^2+c^2}\,]\bigr)\Bigr\} 
$$
перейдём к частичной сумме
$$
S_N=\frac12\sum_{-N\le n\le N} (-1)^n
\Bigl\{(-1)^n-\cos\bigl(\pi\sqrt{n^2+c^2}\,\bigr)\Bigr\}
$$
и полистаем Интегралы и ряды (том 2), где довольно много интегралов гельмгольцевского типа. Формула (2.12.21.4) подходит:
$$
\int_0^a \frac{\cos(b\sqrt{a^2-x^2}\,)}{\sqrt{a^2-x^2}}\,J_1(cx)\,dx
=\frac{\cos ab-\cos(a\sqrt{b^2+c^2}\,)}{ac},\quad (a>0).
$$
Приводим её к виду
$$
\int_0^{\pi/2} \cos(\pi n\cos t)\,J_1(\pi c\sin t)\,dt
=\frac{(-1)^n-\cos(\pi\sqrt{n^2+c^2}\,)}{\pi c}\,.
$$
Тогда
\begin{align}
S_N&=\frac{\pi c}{2}\sum_{-N\le n\le N} (-1)^n\!
\int_0^{\pi/2} \cos(\pi n\cos t)\,J_1(\pi c\sin t)\,dt={}
\nonumber\\
&{}=\frac{\pi c}{2}\!\int_0^{\pi/2} J_1(\pi c\sin t)
\frac{\sin\bigl(\pi(2N+1)\sin^2\tfrac{t}{2}\bigr)}
{\sin\bigl(\pi\sin^2\tfrac{t}{2}\bigr)}\,dt.
\nonumber
\end{align}
С этим интегралом (то ли дирихлевского, то ли фейеровского типа) аккуратно разобраться я не смог. Поэтому действуем грубо --- возвращаемся от $S_N$ к $S_\infty$ и ряд из косинусов заменяем на дельта-функцию:
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}} \cos nx=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \delta(x+2\pi n)
\quad\Rightarrow\quad
\sum_{n \in\mathbb{Z}} \;(-1)^n\cos nx
=\sum_{n~\mbox{\scriptsize\rm odd}} \delta(x+\pi n).
$$
Нам нужен только вариант $n=-1$:
\begin{align}
S_\infty&=\frac{\pi c}{2}\int_0^{\pi/2} J_1(\pi c\sin t)
\sum_{n\in\mathbb{Z}} (-1)^n\cos(\pi n\cos t)\,\,dt={}
\nonumber\\
&{}=\frac{\pi c}{2}\int_0^{\pi/2} J_1(\pi c\sin t)
\delta(\pi\cos t-\pi)\,dt={}
\nonumber\\
&{}=\frac{\pi c}{2}\int_0^{\pi/2} J_1(\pi c\sin t)
\frac{\delta(t)}{\pi\sin t}\,dt=\frac{\pi c^2}{4}.
\nonumber
\end{align}
Линейность по $\beta$ получена, но неудовлетворённость от физического уровня строгости осталась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.09.2021, 10:54 


26/04/11
72
Что-то меня "драпировка" ядра Дирихле заворожила -- я боялся его тронуть. На самом деле, замена $x=\sin^2\tfrac{t}{2}$ и стандартная теорема из рядов Фурье. В общем, и из $S_N$ всё получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.09.2021, 20:25 


26/04/11
72
Без ляпов не обошлось. Забыл $\pi$:
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}} \cos nx=\pi\sum_{n\in\mathbb{Z}} \delta(x+2\pi n).
$$
Поэтому
$$
S_\infty=\frac{\pi^2 c^2}{4}.
$$
Через сингулярный интеграл Дирихле всё-таки проще...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group