Любые порядковые числа сравнимы

[artempalkin]

Друзья, не могу понять один момент в доказательстве заглавной теоремы у Колмогорова.
(в моем издании на стр. 43)

Цитата:

Сначала для каждого порядкового числа $\alpha$ построим множество $W(\alpha)$, служащее его "стандартным представителем". Именно, примем за $W(\alpha)$ множество всех порядковых чисел, меньших $\alpha$. <...> множество $W(\alpha)$ (упорядоченное по величине порядковых чисел) имеет тип $\alpha$.

Ну как-то вроде не особо. Например, рассмотрим множество $\{1,2,3,4\}$ естественно упорядоченное. Пусть его тип называется, эээ, $a_4$ (я так понимаю, он просто называется $4$, но для своей ясности я назову его по-другому).
Отрезок исходного множества $\{1\}$ имеет, допустим, тип $a_1$.
Отрезок исходного множества $\{1,2\}$ имеет, допустим, тип $a_2$.
Отрезок исходного множества $\{1,2,3\}$ имеет, допустим, тип $a_3$.

$a_1$, $a_2$ и $a_3$ - это порядковые числа, меньшие $a_4$. Их множество: $W(a_4)=\{a_1,a_2,a_3\}$ вовсе не имеет тип $a_4$ (не изоморфно исходному множеству).

Чего я тут принципиально не понимаю, подскажите?

[Xaositect]

Есть еще упорядоченное множество $\varnothing$

[artempalkin]

Может, существует некое "порядковое число пустого множества"?

-- 09.09.2021, 19:45 --

Xaositect в сообщении #1531092 писал(а):

Есть еще упорядоченное множество

Ага, спасибо, видимо, это решит проблему. Сейчас начал искать и что-то не нашел в Колмогорове упоминания об этом.

[Xaositect]

Разумеется. Любое вполне упорядоченное множество имеет порядковое число, и пустое множество в том числе.
Это число называется $0$, и в этой области без "счета с нуля" очень неудобно.

[artempalkin]

Но в таком случае, например, возьмем $\omega+1$. Множество порядковых чисел, меньших него, даже если учесть $a_0$, будет иметь порядковым типом $\omega$, нет?

[Xaositect]

Нет, почему же. Там будут натуральные числа, которые упорядочены по $\omega$, и отдельно $\omega$, которое больше всех натуральных чисел. Итого $\omega + 1$

[artempalkin]

Xaositect
Ага, понимаю. То есть в каком-то смысле $\omega$ будет иметь здесь такую же роль, что и $0$ "в начале".

Но вообще вот это утверждение

artempalkin в сообщении #1531091 писал(а):

Сначала для каждого порядкового числа $\alpha$ построим множество $W(\alpha)$, служащее его "стандартным представителем". Именно, примем за $W(\alpha)$ множество всех порядковых чисел, меньших $\alpha$. <...> множество $W(\alpha)$ (упорядоченное по величине порядковых чисел) имеет тип $\alpha$.

сильно как-то неочевидно, я бы даже предположил, что требует доказательства...

Там дальше написано:

Цитата:

...порядковые числа, меньшие $\alpha$, взаимно однозначно отвечают начальным отрезкам множества, а следовательно и элементам этого множества

Но они взаимно однозначно отвечают элементам множества, кроме последнего (ведь мы рассматриваем все порядковые числа, меньшие $\alpha$, то есть отвечающие, так сказать, всем собственным отрезкам исходного множества). Я не совсем понимаю, откуда мы берем, что что-то заведомо будет отвечать и последнему элементу тоже.

[Xaositect]

Вообще да, надо доказать. Каждому элементу $x$ множества сопоставляем отрезок, состоящий из элементов, строго меньших $x$

[artempalkin]

Xaositect в сообщении #1531101 писал(а):

Вообще да, надо доказать. Каждому элементу $x$ множества сопоставляем отрезок, состоящий из элементов, строго меньших

Ну да, в таком случае первому элементу ставится в соответствие пустое множество (у которого есть порядковое число). Тогда каждому элементу ставится в соответствие порядковое число, при этом все порядковые числа меньше порядкового числа исходного множества, это (упорядоченное) множество порядковых чисел изоморфно исходному множеству, т.е. имеет с ним один порядковый тип.

В целом логично! Колмогоров, видимо, оставил это все для личного рассмотрения. Не могу не уважать его решение, но о порядковом числе пустого множества мог бы все же где-нибудь упомянуть.

Спасибо большое за помощь!